степенное тождество для последовательности Люка

[lel0lel]

Пусть $P, Q$ отличные от нуля вещественные числа; $\left\{U_k(P,Q)\right\}$ - последовательность Люка, определённая с помощью рекуррентного соотношения $U_{k+2}=P U_{k+1}-QU_{k}$, с начальными значениями $U_0=0, U_1=1$. Для отрицательных индексов определим $U_{-k}=-U_{k}/Q^k$, здесь $k\ge 1$.

Докажите следующее степенное тождество

$$U_{k}^n=\sum\limits_{i=0}^{n}\left(\frac{U_{k+d_i}^n}{Q^{nd_i}}\prod_{\substack{j=0\\ j\not=i}}^{n}\frac{U_{d_j}}{U_{d_j-d_i}}\right),$$

где $d_{i}\,\,(0\le i\le n)$ различные целые.

[maxal]

Можно обобщить до

$$U_{k+t}^n=\sum_{i=0}^{n} \frac{U_{k+d_i}^n}{Q^{n(d_i-t)}}\prod_{\substack{j=0\\ j\not=i}}^{n}\frac{U_{d_j-t}}{U_{d_j-d_i}}=\sum_{i=0}^{n} U_{k+d_i}^n\prod_{\substack{j=0\\ j\not=i}}^{n}\frac{U_{t-d_j}}{U_{d_i-d_j}},$$

где $t$ - любое целое число.
Аналогия с интерполяционным многочленом Лагранжа прямо так и просится наружу

[lel0lel]

maxal, всё верно
обобщённое тождество как раз и есть интерполяция (не полиномиальная) отсюда такое сходство.