Вопрос о пересечении шара и сферы

[hazzo]

Dmitriy40 в сообщении #1243499 писал(а):

Ну а углы при вершинах (достаточно только одного, у сферы) можно найти из теоремы косинусов.

Все понял, только не понятно для чего угол при вершине сферы определить, с учетом того, что у меня есть все данные окружности пересечения.

-- 27.08.2017, 20:01 --

Огромное спасибо всем. А Dmitriy40 отдельную благодарность, все мои почтения.

[Dmitriy40]

Угол нужен чтобы попроще определить не только лишь саму окружность, но и её "внутренность" (кусок сферы), ведь ответом является не окружность, а кусок сферы.

[hazzo]

Dmitriy40 в сообщении #1243526 писал(а):

Угол нужен чтобы попроще определить не только лишь саму окружность, но и её "внутренность" (кусок сферы), ведь ответом является не окружность, а кусок сферы.

Разве, пересечение не сама окружность (гиперсфера)? Или это круг (гипершар)?

-- 27.08.2017, 21:04 --

Тогда не совсем понял как из угла получить описание куска сферы (гиперсферы).

-- 27.08.2017, 21:10 --

И как из куска сферы предъявить какую-либо точку.

[Dmitriy40]

hazzo
Ну Вы же в самом начале писали уже, что пересечение двух сфер - окружность. А вот сферы и шара - уже не окружность, а кусок сферы, ограниченный той же окружностью. Не круг.
При увеличении количества измерений окружность переходит в сферу, потом в 3-сферу, потом в гиперсферу (меньшей размерности); сфера (и её кусок) в 3-сферу и потом гиперсферу (и уже её кусок); шар так и остаётся n-мерным шаром. Если на сфере ввести сферическую систему координат с полюсом на прямой с центрами сферы и шара, то фигура пересечения будет частью сферы вокруг полюса до некоей параллели (включительно). Какой именно - считается из радиусов (условие на треугольник). Соответственно угол из центра сферы - грубо говоря номер параллели. И точек в этой области навалом (для двух- и более мерного случая, начиная от дуги окружности в двухмерном случае, до куска гиперсферы).

-- 27.08.2017, 21:16 --

Если надо любую точку - возьмите точку на гиперсфере, принадлежащую прямой соединяющей центры гиперсферы и n-мерного шара. Уж её то определить проще всего.

[hazzo]

Dmitriy40, спасибо большое. Все понял. Всех благ Вам.

[hazzo]

А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы? То есть окружность пересечения есть один из больших окружностей сферы (гиперсферы). Так, как тогда получить (описать) круговой сегмент сферы (гиперсферы) или как определить о какой именно большой окружности сферы (гиперсферы) идет речь?

[Mikhail_K]

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?

Что-то, кажется, Вы опять недопоняли. Перечитайте всё с самого начала ещё раз.

Если я правильно понял Ваш вопрос, эти "совпадения" вовсе не обязаны иметь место. Откуда Вы их взяли?

[Walker_XXI]

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?

Если я Вас правильно понял, то это означает что внутри шара оказалась ровно половина сферы (полусфера), для случая, когда радиус шара больше радиуса сферы. В противном случае (радиус шара меньше или равен радиусу сферы) это невозможно.

[hazzo]

Mikhail_K в сообщении #1243605 писал(а):

Если я правильно понял Ваш вопрос, эти "совпадения" вовсе не обязаны иметь место. Откуда Вы их взяли?

Из расчета треугольника. Эти "совпадения" могут быть и они есть.

-- 28.08.2017, 14:38 --

Walker_XXI в сообщении #1243609 писал(а):

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?

Если я Вас правильно понял, то это означает что внутри шара оказалась ровно половина сферы (полусфера), для случая, когда радиус шара больше радиуса сферы. В противном случае (радиус шара меньше или равен радиусу сферы) это невозможно.

Вы правильно поняли. Бывает что, внутри шара оказывается даже более половины сферы (радиус шара больше радиуса сферы).

[Dmitriy40]

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

А что означает совпадение центра окружности пересечения с центром самой сферы (гиперсферы), и её радиуса с радиусом сферы?

Да ничего особого не означает, ну вот так получилось, что сфера вдвинулась в шар до своего экватора (если полюс на прямой соединяющей центры), бывает. Просто один из частных случаев.

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

То есть окружность пересечения есть один из больших окружностей сферы (гиперсферы).

Это возможно только для одного частного случая, экватора, все другие параллели не являются большой окружностью сферы.

hazzo в сообщении #1243593 писал(а):

Так, как тогда получить (описать) круговой сегмент сферы (гиперсферы) или как определить о какой именно большой окружности сферы (гиперсферы) идет речь?

Ну а что сложного? Не знаете где находится экватор у (гипер)сферы в полярных координатах? Или не знаете что за кусок сферы вырезается от полюса до экватора? Угол раскрыва конуса из центра сферы будет $180$°, вот и всё. Он может и больше быть, вплоть до $360$° - вообще вся сфера может поместиться внутри шара, всё зависит от соотношений диаметров и расстояний.

[hazzo]

Dmitriy40 в сообщении #1243621 писал(а):

Угол раскрыва конуса из центра сферы будет $180$°, вот и всё. Он может и больше быть, вплоть до $360$°.

Мне все-таки не понятно как опираясь на полученном из теоремы косинусов углу получить кусок (гипер)сферы. И в аналитическом ли виде получу его или нет?

[arseniiv]

Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

[hazzo]

arseniiv в сообщении #1243630 писал(а):

Кусок гиперсферы единичного радиуса, находящейся в начале координат, определяется системой уравнений $(\mathbf r,\mathbf s) = \cos\alpha$, $(\mathbf r,\mathbf r) = 1$, где $(,)$ — скалярное произведение, $s$ — единичный вектор в интересующем направлении, $\alpha$ — угол при вершине гиперконуса, $\mathbf r$ — радиус-вектор интересующих точек. Не знаю, аналитически это по вашим меркам или нет. Если нужна сфера меньшей размерности, добавляете в систему столько уравнений гиперплоскостей $(\mathbf r,\mathbf n_i) = 0$, сколько понадобится (для простоты нормали $\mathbf n_i$ к гиперплоскостям все вместе с $\mathbf s$ должны быть линейно независимыми).

Спасибо большое. Пока мне трудно понять как из всего этого получить сами точки пересечения.

[Dmitriy40]

hazzo в сообщении #1243626 писал(а):

Мне все-таки не понятно как опираясь на полученном из теоремы косинусов углу получить кусок (гипер)сферы.

А в двухмерном случае, на плоскости с окружностью и кругом, понятно как получить дугу окружности исходя из центрального угла в центре окружности? Если да, то добавляете нужное количество измерений просто вращая полученную дугу окружности вокруг оси симметрии (прямой соединяющей центры) в дополнительных измерениях. Начните с трёхмерного случая, когда дуга окружности превращается в кусок сферы. Поняв этот переход пойти дальше в многомерие тривиально.

-- 28.08.2017, 16:01 --

(Сомнения)

arseniiv, не подскажете ли, не могут ли при повышении количества измерений появиться странные "лишние" решения? Что-то засомневался, ведь при понижении размерности решения с 3 до 2 от пересечения сфер по окружности перейдём к пересечению окружностей в двух точках, т.е. нарушается связность решения. Не может ли быть такого же (аналогичного) топологического перехода при повышении размерности? Сам никак не придумаю как проверить аналитически, разве чисто численно.

[arseniiv]

(Сомнения)

Я плохо следил за тем, какие решения получены, т. к. ТС всё время пускается в частности. Возьмём обычный круг, плоскость которого не проходит через центр обычной сферы, пересекающий её в результате по дуге малого круга — такое было? А чтобы прям несвязное, если 1-окружности не задействованы — не думаю, хотя строго доказать не возьмусь, и про аналогичное тоже.