Плоскость как частный случай сферы

[thepooh]

Дано: одномерное дифференциальное уравнение или система уравнений в сферической симметрии.
Получаем разностную схему для решения уравнения.
В разностной схеме присутствуют геометрические характеристики ячеек сетки, такие как объёмы ячеек, площади граней и т.д.
Заменяем геометрические характеристики сетки для сферы на характеристики сетки для плоскости.
Получаем разностную схему для решения того же самого уравнения в плоской симметрии.
Вопрос: всегда ли можно построить такую разностную схему?

[Pphantom]

По-видимому, ответ "да", но не очень понятно, что Вы имели в виду.

thepooh в сообщении #1243438 писал(а):

Дано: одномерное дифференциальное уравнение или система уравнений в сферической симметрии.

Т.е. задача обладает сферической симметрией и может быть сведена к одномерной.

thepooh в сообщении #1243438 писал(а):

Заменяем геометрические характеристики сетки для сферы на характеристики сетки для плоскости.
Получаем разностную схему для решения того же самого уравнения в плоской симметрии.

Откуда при этом появляется плоскость?

[thepooh]

Спасибо за ответ. С Вашего позволения, напишу более конкретно.
Имеется уравнение переноса частиц в приближении метода сферических гармоник P3 в одномерной геометрии в плоской симметрии:
\left\{\!\begin{aligned} & \frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = G_{0} f_{0} (x) + Q(x) \\ & 2\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } + \frac{ d f_{0} (x) }{ dx } = 3G_{1} f_{1} (x) \\ & 3\frac{ d f_{3} (x) }{ dx } + 2\frac{ d f_{1} (x) }{ dx } = 5G_{2} f_{2} (x) \\ & 3\frac{ d f_{2} (x) }{ dx } = 7G_{3} f_{3} (x) \end{aligned}\right.

и сферической симметрии:

\left\{\!\begin{aligned} & \left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 2 }{ r } \right) f_{1} (r) = G_{0} f_{0} (r) + Q(r) \\ & 2\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 3 }{ r } \right) f_{2} (r) + \frac{ d }{ dr }f_{0} (r) = 3G_{1} f_{1} (r) \\ & 3\left( \frac{ d }{ dr } + \frac{ 4 }{ r } \right) f_{3} (r) + 2\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 1 }{ r } \right) f_{1} (r) = 5G_{2} f_{2} (r) \\ & 3\left( \frac{ d }{ dr } - \frac{ 2 }{ r } \right) f_{2} (r) = 7G_{3} f_{3} (r) \end{aligned}\right.

где G - константы среды, не зависящие от кординат, f - искомые функции, Q - заданный источник частиц.

Граничные условия могут быть заданы какие угодно.

Можно ли построить разностную схему, которая бы описывала и плоский и сферический случай одновременно?
Имеется ввиду, что в схему входят такие характеристики ячеек как площади граней, объёмы и т.д. и если мы подставляем величины для плоских ячеек, то получаем схему для плоскости, а если для сферических ячеек, то схема начинает описывать сферический случай

Например, для P1 приближения такую схему построить можно, если записать уравнение в следующем виде

\left\{\!\begin{aligned} & \frac{ 1 }{ r^{2} } \left( \frac{ d }{ dr }r^{2} f_{1}(r) \right) = G_{0}f_{0}(r) + Q(r) \\ & \frac{ d }{ dr }f_{0}(r) = 3G_{1}f_{1}(r) \end{aligned}\right.

Затем первое уравнение умножить на 4\pi r^{2} и проинтегрировать по i-той ячейке от r_{i - 1\slash2 } до r_{i + 1\slash2 }. Второе уравнение просто записать на грани ячейки , например r_{i + 1\slash2 }. Получим

\left\{\!\begin{aligned} & 4 \pi r_{i + 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i + 1\slash2 } - 4 \pi r_{i - 1\slash2 }^{2}f_{1}^{i - 1\slash2 } = \left( \frac{ 4 }{ 3 } \pi r_{i + 1\slash2 }^{3} - \frac{ 4 }{ 3 } \pi r_{i - 1\slash2 }^{3} \right) \left( G_{0}^{i}f_{0}^{i} + Q^{i} \right) \\ & \frac{ f_{0}^{i + 1} - f_{0}^{i} }{ l_{i + 1, i} }= 3G_{1}^{i + 1\slash2 } f_{1}^{i + 1\slash2 } \end{aligned}\right.

Или по другому

\left\{\!\begin{aligned} & S_{i + 1\slash2 }f_{1}^{i + 1\slash2 } - S_{i - 1\slash2 }f_{1}^{i - 1\slash2 } = V_{i} \left( G_{0}^{i}f_{0}^{i} + Q^{i} \right) \\ & \frac{ f_{0}^{i + 1} - f_{0}^{i} }{ l_{i + 1, i} }= 3G_{1}^{i + 1\slash2 } f_{1}^{i + 1\slash2 } \end{aligned}\right.

Теперь если заменить объёмы ячеек ($V_{i}$) и площади граней ($S_{i + 1\slash2 }$) для сферы на величины для плоскости, то получим разностную схему для плоскости.
Но вопрос как то же самое проделать для уравнений более высоких приближений (P3 и т.д.) у меня остаётся

[Pphantom]

thepooh в сообщении #1243451 писал(а):

Можно ли построить разностную схему, которая бы описывала и плоский и сферический случай одновременно?

Теперь вопрос понятен, но только Вы совершенно зря называете одномерный случай плоским. Если очень хочется придумать ему геометрическое название, пусть будет линейным.


Но про ответ я тогда, пожалуй, ничего сказать не берусь. Такие варианты для $P3$ мне не попадались; есть подозрение, что поскольку простой связи $f_i$ с физическими характеристиками нет, то и ответ на исходный вопрос, скорее всего, отрицательный.

[thepooh]

Ну там оба случая одномерные, только один обладает сферической симметрией, другой - плоской. Это имелось ввиду.
Вообще говоря, можно получить искомую разностную схему, преобразовав исходные уравнения.
А именно, исключить переменные $f_{1},f_{2},f_{3}$ и получить уравнение 4-го порядка для $f_{0}$.
Уравнение будет выглядеть следующим образом в плоском:

$ \left( \frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - A \right)\left( \frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - B \right)f_{0} (x) = \left( C\frac{ d^{2} }{ dx^{2} } - D \right)Q(x) $

и сферическом случае

$ \left(\frac{ 1 }{ r^{2} } \frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - A \right)\left( \frac{ 1 }{ r^{2} }\frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - B \right)f_{0} (r) = \left( C\frac{ 1 }{ r^{2} }\frac{ d }{ dr }r^{2}\frac{ d }{ dr } - D \right)Q(r) $

где A, B, C, D выражаются через G

Далее в обоих случаях представляем решение в виде суммы $f_{0}(r) = f_{a}(r) + f_{b}(r)$ где

$ \left(\Delta - A \right)f_{a}(r) = S_{a}f_{0}(r) + F_{a}Q(r) $
$ \left(\Delta - B \right)f_{b}(r) = S_{b}f_{0}(r) + F_{b}Q(r) $

где $S_{a}, F_{a},S_{b}, F_{b}$ выражаются через A, B, C, D

Для таких уравнений разностная схема будет выглядеть одинаково в плоском и сферическом случае, но возникает сложность постановки граничных условий, т.к. граничные условия накладываются на переменные $f_{0},f_{1},f_{2},f_{3}$,следовательно их нужно выразить через $f_{a},f_{b}$ и применить граничные условия. К сожалению сделать это в виде универсальном и для плоскости и для сферы мне не удается.