Численное решение системы НДУ

[V.V.]

zoo писал(а):

Очень хорошо. Теперь пожалуйста, точную ссылку с годом издания

Эта книга была издана на русском языке два раза, можно взять любое издание. И я считаю, что она настолько полезна каждому (даже воинствующим неучам), что я просто говорю, что все необходимые вещи там описаны.

[zoo]

V.V. писал(а):

zoo писал(а):

Очень хорошо. Теперь пожалуйста, точную ссылку с годом издания

Эта книга была издана на русском языке два раза, можно взять любое издание. И я считаю, что она настолько полезна каждому (даже воинствующим неучам), что я просто говорю, что все необходимые вещи там описаны.

Трушков,я задал конкретный вопрос. А ты опять стал от него бегать. Сначала ты утверждал, что есть первые интегралы, когда я попросил тебя, их привести, ты этого не сделал, а стал бегать от вопроса ссылаться на заведомо неподходящую теорему. Я тебя опять поймал за руку, ты стал ссылаться на книжку, теперь ты даже не можешь сказать на какой странице в ней "все необходимые вещи там описаны". Трушков ты трепешся, а когда тебя хватают за руку начинаешь лгать. Думаю, что для форумчан (хорошо если среди них есть твои студенты или коллеги по кафедре)эта ветка будет полезна и люди подумают насколько доверять твоим высказываниям.

[V.V.]

Минимум один мой студент на форуме бывал. Могу дать ему ссылку.

Физический первый интеграл я предъявил автору ветки еще в ЖЖ. (Впрочем, насколько я понимаю, он и так его знал.)

Как понизить порядок системы до трех, написал ему в личку. Впрочем, это может сделать любой, кто не забыл материал стандартного курса ОДУ (даже мою книгу для этого читать не надо ).

Дублировать эти сообщения не хочу. Предоставляю возможность тебе найти всё это самому.

А чтобы утверждать, что я лгу, тебе надо почитать книгу и убедиться, что там это не написано.
Ты прочитал?

Писать сюда текст про геометрическую теорию и бесплатно учить тебя мне не хочется. Можем договориться о нескольких уроках за сумму, которая меня удовлетворит.

P.S. На форуме у меня есть ник, и большая просьба обращаться ко мне, используя его. Иначе я буду при обращении к тебе использовать какое-нибудь прозвище.

[Riga]

zoo, я нашёл то, о чём Вы спрашивали

Цитата:

Выведена формула, которую можно рассматривать как аналог теоремы Нётер для нелагранжевых систем.

http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml ... n_lang=rus

Только самого материала тоже не найти в интернете.

[questioner]

zoo писал(а):

V.V. писал(а):

zoo писал(а):

Очень хорошо. Теперь пожалуйста, точную ссылку с годом издания

Трушков,я задал конкретный вопрос. А ты опять стал от него бегать. Сначала ты утверждал...

Уважаемый zoo, может быть вам стоит перестать писать в этой ветке? Ничего дельного автору темы не посоветовав, вы переходите на личности, и пытаетесь оскорблять человека, который хотя бы пытается давать подсказки и как-то помочь автору, не смотря на ваше хамство? Одно из правил этого форума --- это то, что людям _не должны_ давать готовые решения: он рассчитан на тех, кто может подумав своей головой, извлечь из постов форумчан дельные мысли и получить решение. Вам не кажется, что ваше поведение выходит за границы дозволенного этим форумом, а также любым адекватным обществом?

[Riga]

Следуя совету V.V.,
систему после обозначений
\displaystyle n_e\equiv F,\quad n_h\equiv S,\quad \frac{\partial F}{\partial x}=Y, \quad \frac{\partial S}{\partial x}=Z,
можно записать в виде ( для чего поделив её на уравнение \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=Y )
\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle Y\frac{\partial Y}{\partial F} = -EY -F(S-F) + \frac{c}{a}SF, \vspace{6 pt} \\ \displaystyle Y\frac{\partial Z}{\partial F} = -EZ - S(S-F) + cSF, \vspace{6 pt} \\ \displaystyle Y\frac{\partial S}{\partial F}= Z, \vspace{6 pt} \\ \displaystyle Y\frac{\partial E}{\partial F}= S-F. \end{array} \right.
F теперь играет роль независимой переменной, но что делать с граничными условиями, я пока не понял, т.е. как выразить условие x=0 и x=\inftyв новых переменных.
Возникает вопрос предпочтительней ли эта система для численного счёта и если да, то каким методом...

Добавлено спустя 37 минут 21 секунду:

zoo писал(а):

V.V. писал(а):

Есть, например, такое однопараметрическое семейство $n_e(t)=\frac{\alpha}{(x+x_0)^2}$, $n_h(t)=\frac{\beta}{(x+x_0)^2}$, $E(t)=\frac{\gamma}{(x+x_0)}$

Сие наводит на мысль о замене искомых функций

$n_e(x)=\frac{\alpha(x)}{(x+x_0)^2}$, $n_h(x)=\frac{\beta(x)}{(x+x_0)^2}$, $E(x)=\frac{\gamma(x)}{(x+x_0)}$
На функции $\alpha,\beta,\gamma$ получится система уравнений, которая будет иметь тотже вид, что и старая система + добавки вида $\frac{f(...)}{(x+x_0)}$ . Дальше можно попробовать действовать теорией возмущений. Добавки выбросить и искать ограниченные решения системы без добавок. Если они найдутся то расмотреть полную систему, имя ввиду что добавки малы при больших $x$.
О наличии ограниченных решений возможно можно будет судить по первым интегралам, которые я надеюсь, V.V. выложит.

Вот что получается после подстановки этих функций:
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}\beta \left( x \right) -4\,{\frac {{\frac {d} {dx}}\beta \left( x \right) }{x-{\it x0}}}+6\,{\frac {\beta \left( x \right) }{ \left( x-{\it x0} \right) ^{2}}}-{\frac { \left( {\frac {d }{dx}}\gamma \left( x \right) \right) \beta \left( x \right) }{x-{ \it x0}}}+3\,{\frac {\gamma \left( x \right) \beta \left( x \right) }{ \left( x-{\it x0} \right) ^{2}}}-{\frac {\gamma \left( x \right) { \frac {d}{dx}}\beta \left( x \right) }{x-{\it x0}}}-{\frac {c\alpha \left( x \right) \beta \left( x \right) }{ \left( x-{\it x0} \right) ^{2}} =0, \vspace{ 20 pt} \\ \displaystyle \frac {d^{2}}{d{x}^{2}}}\alpha \left( x \right) -4\,{\frac {{\frac {d}{dx}}\alpha \left( x \right) }{x-{\it x0}}}+6\,{\frac {\alpha \left( x \right) }{ \left( x-{\it x0} \right) ^{2}}}+{\frac { \left( {\frac { d}{dx}}\gamma \left( x \right) \right) \alpha \left( x \right) }{x-{ \it x0}}}-3\,{\frac {\gamma \left( x \right) \alpha \left( x \right) } { \left( x-{\it x0} \right) ^{2}}}+{\frac {\gamma \left( x \right) { \frac {d}{dx}}\alpha \left( x \right) }{x-{\it x0}}}-{\frac {c\alpha \left( x \right) \beta \left( x \right) }{a \left( x-{\it x0} \right) ^{2}}=0. \end{array} \right.
Теперь Вы предлагаете выкидывать квадратичные по \displaystyle \frac{1}{x-x0} добавки?

[V.V.]

Riga, я систему не так предлагал записывать.

После того, как мы выразили и подставили $E$, мы получили (надеюсь, я не ошибся в вычислениях) систему

$n_e''=\frac{n_e(an_e+(c-a)n_h)}{a}+\frac{n_e'(an_e'-n_h')}{an_e+n_h}$,
$n_h''=n_h((c-1)n_e+n_h)-\frac{n_h'(an_e'-n_h')}{an_e+n_h}$.

Можем ввести новые зависимые переменные $m_e=n_e'$, $m_h=n_h'$.

Тогда получим систему четырех уравнений

$\frac{dn_e}{dx}=m_e$,
$\frac{dm_e}{dx}=\frac{n_e(an_e+(c-a)n_h)}{a}+\frac{m_e(am_e-m_h)}{an_e+n_h}$,
$\frac{dn_h}{dx}=m_h$,
$\frac{dm_h}{dx}=n_h((c-1)n_e+n_h)-\frac{m_h(am_e-m_h)}{an_e+n_h}$.

Теперь разделим все уравнения, например, на первое. Получим неавтономную систему с независимой переменной $n_e$ и тремя зависимыми переменными $m_e(n_e)$, $n_h(n_e)$, $m_h(n_e)$:

$\frac{dm_e}{dn_e}=\dots$, $\frac{dn_h}{dn_e}=\dots$, $\frac{dm_h}{dn_e}=\dots$

Мне автономная система двух уравнений второго порядка с точки зрения численного счета нравится больше, чем получившаяся неавтономная система из трех уравнений. Но, в принципе, можно и новую систему попробовать посчитать.

[Riga]

V.V., теперь понятно, в вычислениях ошибки нету. Спасибо! Я буду пытаться решить автономную систему численно, но нелинейности жутковатые на вид .

[V.V.]

Давайте еще понизим порядок!
Ведь у системы двух уравнений второго порядка есть две симметрии. Мы использовали трансляцию. А ведь есть еще и масштабная!

Сделаем замену $h_n=n_e u(u_e)$, $m_e={n_e}^{3/2} v(n_e)$, $m_h={n_e}^{3/2}w(n_e)$.

Подставляя и сокращая в полученных уравнениях на ${n_e}^{1/2}$, получим

$n_e\frac{du}{dn_e}=f_1(u,v,w)$, $n_e\frac{dv}{dn_e}=f_2(u,v,w)$, $n_e\frac{dw}{dn_e}=f_3(u,v,w)$.

Можем опять поделить на какое-нибудь уравнение оставшиеся. Например, поделим на первое. Получим

$\frac{dv}{du}=\frac{f_2(u,v,w)}{f_1(u,v,w)}$, $\frac{dw}{du}=\frac{f_3(u,v,w)}{f_1(u,v,w)}$.

А дальше не понизить...

[zoo]

Riga:
Постараюсь объяснить, что настораживает меня в Вашей задаче. Рассуждения, которые я сейчас приведу носят чисто эвристический характер и не претендуют на каку-либо строгость.
Поскольку функции $n$ малы при больших $x$, я выброшу нелинейность из правой части уравнений, а полученные укороченные уравнения проинтегрирую с учетом начальных условий (хотя можно и оставить произвольные постоянные интегрирования):
$\frac{d}{dx}n_e+n_eE=-c/a$ (*)
$\frac{d}{dx}n_h-n_hE=-c$ (**)
$\frac{d}{dx}E=n_h-n_e$
Легко сообразить, что искомое решение должно удовлетворять при всех $x$ равенству:
$n_e+n_h-E^2/2=-(c/a+c)x+c_1$ где $c_1$ -- константа зависящая от нач. усл.
поскольку функции $n$ стремятся к нулю имеем при больших $x$ : $E\sim c_2\sqrt{x}$; $c_2>0$
Если мы теперь подставим эту асимптотическую формулу в уравнения (*) (**) то увидим, что решения $n_{e,h}$ с заданными краевыми условиями единственны и неустойчивы (по крайней мере в обязательно в одном из двух уравнений). Это возможно объясняет трудности с которыми Вы столкнулись при численном моделировании, (если конечно нужные решения вообще есть.). Не знаю каково происхождение Вашей задачи, но физики, на сколько мне известно, в таких случаях начинают думать об изменении модели.

Добавлено спустя 2 часа 2 минуты 2 секунды:

V.V. писал(а):

После того, как мы выразили и подставили $E$, мы получили (надеюсь, я не ошибся в вычислениях) систему

$n_e''=\frac{n_e(an_e+(c-a)n_h)}{a}+\frac{n_e'(an_e'-n_h')}{an_e+n_h}$,
$n_h''=n_h((c-1)n_e+n_h)-\frac{n_h'(an_e'-n_h')}{an_e+n_h}$

а что если на искомом решении краевой задачи знаменатели в правых частях обращаются в нуль?

[Riga]

zoo
Спасибо Вам за анализ, это хорошая пища для размышлений.

По поводу обращения в нуль знаменателя - это концентрации - т.е. неотрицательные функции, a - положительная константа, т.о. знаменатель всегда больше нуля

[zoo]

Riga писал(а):

zoo
По поводу обращения в нуль знаменателя - это концентрации - т.е. неотрицательные функции, a - положительная константа, т.о. знаменатель всегда больше нуля

а это как-то из уравнений следует, что они положительные?

[Riga]

Это следует из начального приближения вопрос правомерный, конечно. Нужно подумать. По крайней мере, если это уравнение будет считаться численно при положительном начальном приближении, то или оно даст хорошее положительное решение либо не посчитается, что нам хуже не сделает.

[V.V.]

zoo писал(а):

Если мы теперь подставим эту асимптотическую формулу в уравнения (*) (**) то увидим, что решения $n_{e,h}$ с заданными краевыми условиями единственны и неустойчивы (по крайней мере в обязательно в одном из двух уравнений).

Почему сразу неустойчивы? Почему бы $n_e$ и $n_h$ не вести себя, например, как $\frac{1}{\sqrt{x}}$?

[zoo]

V.V. писал(а):

Почему сразу неустойчивы? Почему бы $n_e$ и $n_h$ не вести себя, например, как $\frac{1}{\sqrt{x}}$?

а если они себя так и ведут то как это противоречит неустойчивости?

Уравнения (*) (**) после подстановки в них асимптотики для $E$ решаются явно, в частности, решение с заданными краевыми условиями тоже явно находится, неустойчивость следует из этих явных формул.
Выписывание уравнеий (*)(**) и подстановка в них данной асимптотики являются действиями эвристическими и на строгость не претендуют.