Интегрируемость суперпозиции функций

[_Y_]

Здравствуйте!

Давайте рассмотрим вопрос об интегрируемости суперпозиции функций $g \circ f$
Легко можно построить пример двух интегрируемых функций суперпозиция которых не будет интегрируема, немного сложнее -- пример интегрируемой $g$, непрерывной $f$ суперпозиция которых $g \circ f$ не интегрируема.

Кстати, а кто-нибудь знает не очень сложный пример таких функций?

Мой вопрос такой. Пусть функция $g$ -- лишь интегрируема. Какие условия нужно наложить на внутреннюю функцию $g$, чтобы их суперпозиция $g \circ f$ всегда была интегрируемой? У Jitan Lu написано, что она должна быть непрерывно дифференцируемой, и её производная не должна обращаться в ноль. Так ли это? И как это доказать? А есть ли еще какие-нибудь условия на данные функции?

[mihailm]

Про Римана речь то?

[kp9r4d]

_Y_ в сообщении #1242619 писал(а):

У Jitan Lu написано, что она должна быть непрерывно дифференцируемой, и её производная не должна обращаться в ноль. Так ли это? И как это доказать?

Тогда мы будем иметь $\int_a^b f(x) dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(x)) g'(x) dx$ (формула замены переменных) а домножение на непрерывную ограниченную ($g'$) не меняет факта (не)интегрируемости, поэтому если $\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} g(f(x)) g'(x) dx$ есть, то и $\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} g(f(x)) dx$ есть.

[Dan B-Yallay]

А как сюда пристроить требование $g' \ne 0 \ ? $

_Y_ в сообщении #1242619 писал(а):

она должна быть непрерывно дифференцируемой, и её производная не должна обращаться в ноль.

В остальном выглядит убедительно.

[kp9r4d]

Dan B-Yallay в сообщении #1242665 писал(а):

А как сюда пристроить требование $g' \ne 0 \ ? $

Ну чтобы делать замену переменных $g$ должно быть диффеоморфизмом отрезка на отрезок, т.е. монотонной гладкой функцией, а $g' \neq 0$ как раз способствует монотонности.

[Dan B-Yallay]

kp9r4d в сообщении #1242666 писал(а):

Ну чтобы делать замену переменных $g$ должно быть диффеоморфизмом отрезка на отрезок, т.е. монотонной гладкой функцией, а $g' \neq 0$ как раз способствует монотонности.

Способствует, да. Но почему бы тогда не потребовать именно монотонности и гладкости? А то получается, что $g(x) = x^3$ нельзя помещать внутрь композиции.

[kp9r4d]

А я обманул как всегда, диффеоморфизм не обязательно монотонная и гладкая, ведь $x^{1/3}$ уже не гладкая в нуле. По теореме об обратной функции невырожденность гладкого отображения (т.е. $f'(x) \neq 0$ в одномерном случае) как раз достаточное условие для того, чтобы функция была диффеоморфизмом.

[Dan B-Yallay]

Понятно. Только что заметил, что Вы поправили формулы.
А всё-таки, с ходу не соображу: для указанной $g(x) = x^3$ композиция с какой именно функцией даст неинтегрируемость (раз уж она не является диффеоморфизмом)?
Интересно в качестве примера в учебных целях.

[kp9r4d]

Сейчас посмотрел в Зориче, написано что для одномерных сойдёт и монотонность+гладкость (страница 360 теорема 3), для многомерных нужно уже требовать хотя бы локального диффеоморфизма, чтобы хотя бы сформулировать замену переменных.

[Dan B-Yallay]

kp9r4d
Ясно, спасибо.

[Vince Diesel]

Есть теорема Кудрявцева:

Пусть $y=f(x)$ — взаимно однозначное, непрерывное, почти всюду дифференцируемое отображение области $G\subset \mathbb R^n$ на область $G^*=f(G)\subset \mathbb R^n$, переводящее любое множество меры нуль во множество меры нуль. Тогда для любой измеримой на $G^*$ функции $g(y)$

$$ \int_G g(f(x)) \left|\frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial (x_1,\ldots, x_n)}\right|\,dx=\int_{G^*}g(y)\,dy, $$

причем из существования одного из этих интегралов следует существование другого.

[_Y_]

Огромное спасибо!

На первый взгляд, именно то, что мне было нужно. Буду разбираться;)