О равномерно на сфере распределенных векторах

[artfin]

Доброго времени суток. Недавно при решении одной задачи из области моделирования молекулярных движений возникла проблема при распределении начальных условий. В частности нас интересовал вопрос о распределении угла между двумя равномерно распределенными на сфере векторами ( исходящими из центра сферы ).
Дальние участки мозга подсказывают, что данный вопрос тривиален и не требует долго размышления, однако мои познания в области теории вероятностей не позволяют его разрешить. К сожалению найти ответ в литературе также не удалось. Прошу поделиться Вашими соображениями по рассматриваемому вопросу.

[Vince Diesel]

Пусть один вектор упирается в северный полюс (угол $\theta=0$). Тогда второй равномерно распределен по сфере. У каждой точке на сфере с меридианой $\theta$ есть симметричная относительно диаметра с углом $\pi-\theta$. В среднем будет $\pi/2$.

[dsge]

Что-то пропорциональное синусу угла между ними, если векторы независимые.

[Dan B-Yallay]

Могу ошибаться, но не маячит ли тут где-то призрак парадокса Бертрана?

[popolznev]

Dan B-Yallay в сообщении #1242669 писал(а):

Могу ошибаться, но не маячит ли тут где-то призрак парадокса Бертрана?

По-моему, нет: здесь нет никаких двусмысленностей или неопределённостей в описании исходно заданного распределения.

[adfg]

Функция распределения угла в данном случае - отношение площади поверхности сферического сегмента (шапочки) к площади поверхности всей сферы, так что плотность распределения будет равна $p(\theta)=\frac{1}{2}\sin\theta$, где $\theta\in[0,\pi]$ - угол между векторами

[artfin]

А можете поподробнее изложить свою мысль? Посему функция распределения угла есть отношение площади "шапочки" к площади сферы?

[arseniiv]

Ну, по определению. Это вероятность того, что угол этого случайного вектора принадлежит $(-\infty;\theta]$. Это множество углов соответствует шапочке, и раз распределение равномерное на сфере, в шапочку вектор попадает настолько часто, во сколько площадь её меньше площади всей сферы.

[artfin]

Я понял идею, предложенную Vince Diesel. Распределим случайным образом первый вектор, затем осуществим поворот сферы таким образом, чтобы выбранный вектор указывал на северный полюс. Затем выберем второй вектор, тогда угол между ними есть $\theta$ (полярный угол), а мы знаем, что при равномерном распределении вектора на сфере косинус полярного угла распределен равномерно на $[ - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$.
Идеи остальных сообщений я не понял (откуда, например, берется $\frac{1}{2}$ в сообщении adfg?). Поясните, пожалуйста.

[provincialka]

artfin в сообщении #1242874 писал(а):

Я понял идею, предложенную Vince Diesel.

Ну, он только о мат. ожидании говорит, дальше уже ваши мысли.

artfin в сообщении #1242874 писал(а):

откуда, например, берется $\frac{1}{2}$ в сообщении adfg?

Видимо, как результат вычисления описанной площади (например, с помощью интеграла)

[dsge]

artfin в сообщении #1242874 писал(а):

Идеи остальных сообщений я не понял

Моя идея была то, что площадь кольца шириной $dl$ на на широте $\pi/2 -\theta$ будет пропорциональна радиусу сечения на этой широте, т.е. $\sin\theta$. А нормирующий множитель $\frac{1}{2}$ нужен чтобы интеграл от синуса был равен полной вероятности - 1.

[artfin]

Хорошо, понял.
Но это все основывается на том, что два вектора распределяются последовательно: сначала "кидается" первый вектор, мы ориентируем сферу относительно него, затем распределяем второй вектор. Не совсем понятна обоснованность такого подхода.

[ShMaxG]

Пусть $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in\mathrm{N}(0,I)$ -- нормальный случайный вектор с нулевым средним и единичной ковариационной матрицей. Тогда вектор

$$\mathbf{e}=\frac{\xi}{\sqrt{\xi_1^2+\dots+\xi_n^2}}$$

имеет равномерное распределение на $n$-мерной сфере единичного радиуса. Заметим также, что $n$-мерное распределение случайного вектора $\mathbf{e}$ инвариантно относительно поворотов в $n$-мерном пространстве.

Рассмотрим теперь два таких нормальных вектора, независимых, $\xi$ и $\eta$. Рассмотрим два соответствующих единичных вектора: $\mathbf{e}_1$ и $\mathbf{e}_2$. Угол между ними определим через косинус

$$\cos{\alpha}=\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2=\frac{\xi_1\eta_1+\dots+\xi_n\eta_n}{\sqrt{\xi_1^2+\dots+\xi_n^2}\sqrt{\eta_1^2+\dots+\eta_n^2}}$$

Распределение косинуса можно искать прямым способом. Пусть $x\in(-1,1)$, тогда

$$\mathbb{P}(\cos{\alpha}<x)=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\mathbb{P}\left(\frac{c\cdot\eta}{||c||\sqrt{\eta_1^2+\dots+\eta_n^2}}<x\right)f_{\xi}(c)\,dc=\int\limits_{\mathbb{R}^n}\mathbb{P}\left(\frac{\eta_1}{\sqrt{\eta_1^2+\dots+\eta_n^2}}<x\right)f_{\xi}(c)\,dc$$

Здесь я воспользовался сначала независимостью векторов $\xi$ и $\eta$, а затем инвариантностью распределения вектора $\eta$, благодаря чему я заменил произвольный вектор $c$ на конкретный вектор $(1,0,\dots,0)$. Получается следующее:

$$\mathbb{P}(\cos{\alpha}<x) = \mathbb{P}\left(\frac{\eta_1}{\sqrt{\eta_1^2+\dots+\eta_n^2}}<x\right)$$

т.е. угол между произвольными случайными векторами на сфере распределен так же, как угол между одним случайным вектором и каким-нибудь фиксированным направлением, в данном случае $(1,0,\dots,0)$. Но

$$\arccos{\frac{\eta_1}{\sqrt{\eta_1^2+\dots+\eta_n^2}}}$$

это же угол-координата в $n$-мерной сферической системе координат, его плотность распределения равна

$$f(x)=\frac{\sin^{n-2}{x}}{\int\limits_{0}^{\pi}\sin^{n-2}{x}\,dx}, \ \ x\in(0,\pi)$$

что при $n=2$ дает $1/\pi$ (равномерное распределение), при $n=3$ дает $1/2\cdot \sin{x}$, при $n=4$ дает $2/\pi\cdot\sin^2{x}$ и так далее.

[arseniiv]

artfin в сообщении #1242940 писал(а):

Но это все основывается на том, что два вектора распределяются последовательно: сначала "кидается" первый вектор, мы ориентируем сферу относительно него, затем распределяем второй вектор. Не совсем понятна обоснованность такого подхода.

Судя по всему, в вашей ситуации можно навесить на векторы ярлычки. Значит, можно ориентировать сферу каким-то одним из них. Другой ситуацией было бы одно- (если векторы окажутся равны, ибо $\{a,a\} = \{a\}$) или двухэлементное множество, но и там можно выбрать один из элементов произвольно, потому что, например, искомому углу не важно, в каком порядке мы берём их.

[adfg]

artfin в сообщении #1242940 писал(а):

Хорошо, понял.
Но это все основывается на том, что два вектора распределяются последовательно: сначала "кидается" первый вектор, мы ориентируем сферу относительно него, затем распределяем второй вектор. Не совсем понятна обоснованность такого подхода.

Вообще говоря, любая вероятность есть мера. А мера любого множества как известно, интеграл. Из анализа также известно, что двойные интегралы можно вычислить расписав их как повторные. В нашем случае в силу независимости вероятность вычисляется как двойной интеграл по прямому произведению двух сфер от прямого произведения двух нормированных лебеговых мер. При этом внутренний интеграл будет условной вероятностью попадания второй точки в нужное множество на сфере при условии что первая точка там уже фиксирована. Внешний же интеграл берется по любым положениям первой точки на сфере. Так вот, в силу инвариантности сферы относительно поворотов пространства, внутренний интеграл принимает одно и то же значение при любых положениях первой точки (площадь куска сферы не зависит от того где мы этот кусок нарисовали), то есть наша условная вероятность не зависит от условия. Поэтому внешний интеграл превращается в пустую формальность, по сути интегрируя константу по нормированной мере, мы эту же константу в итоге и получим.

Если бы например, была не сфера а другая поверхность, например какой-нибудь эллипсоид, пришлось бы для каждого положения первой точки считать площадь ее окрестности, и затем еще интегрировать эти площади по всем положениям первой точки. В случае же сферы все эти окрестности имеют одинаковую площадь, поэтому вероятность действительно не зависит от положения первой точки, ее можно считать фиксированной