Обозначения Лейбница

[Viktor92]

Здравствуйте. Изучая технику дифференциального исчисления частенько мы учимся как-то механически оперировать с символами вида $dy$ или $\frac {df} {dx}$, хотелось бы теперь переосмыслить их применение на следующих примерах:
1.Понятие дифференциала. По определению $\triangle y=A\triangle x +\alpha(\triangle x)\triangle x$, но потом вводится переобозначения в символах Лейбница $dy=Adx$, где $A$ производная функции $y$, правильно ли что в этой формуле надо всё же понимать под символами следующее $dy=\triangle y$, $dx=\triangle x$?
2. Теперь вспомним например дифференциальные уравнения, которые порой можно записать в дифференциальном виде и ввобще оперировать символами $dy$, $dx$ как-будто бесконечно малыми числами.
Допустим имеем уравнение вида $M(x,y)dy+N(x,y)dx=0$ (не обязательно что левая часть полный дифференциал какой-либо функции), перекидывая "бесконечно малые" как числа (вот как это обосновывается ?!) это уравнения формально можно записать $\frac {dy}{dx}=-\frac N M$.
Я предположу, что первую формулировку дифференциального уравнения надо понимать через понятия дифференциала функции
(пункт 1),т.е. ищем такую функцию $y(x)$, которая при $\triangle x \to 0$ будет удовлетворять

$$M(x,y)(A\triangle x +\alpha(\triangle x)\triangle x)+N(x,y)\triangle x=0$$

А переход ко второй формулировке выглядит так

$$A+\alpha(\triangle x)=-\frac N M$$

и после предельного перехода $\triangle x \to 0$

$$\frac {dy}{dx}=-\frac N M$$

[Sinoid]

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

$dx=\triangle x$

По-моему, можно.

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

По определению $\triangle y=A\triangle x +\alpha(\triangle x)\triangle x$, но потом вводится переобозначения в символах Лейбница $dy=Adx$, где $A$ производная функции $y$, правильно ли что в этой формуле надо всё же понимать под символами следующее $dy=\triangle y$

Вот это точно нет: $dy$ - это не приращение, это главная часть приращения

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

$\triangle y=A\triangle x +\alpha(\triangle x)\triangle x$,

т.е. $A\Delta x$ (кстати, у вас там последняя дельта лишняя).

-- 20.08.2017, 23:24 --

Ну и тогда

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

$dx=\Delta x$

[Someone]

Sinoid в сообщении #1242023 писал(а):

кстати, у вас там последняя дельта лишняя

Не там лишней $\Delta$.

Sinoid в сообщении #1242023 писал(а):

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

$dx=\triangle x$

По-моему, можно.

При условии, что $x$ — независимая переменная. То есть, не является функцией чего-нибудь ещё.

[provincialka]

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

перекидывая "бесконечно малые" как числа

Они не бесконечно малые, в общем случае. Мы можем устремить их к 0, но можем и не делать этого.

[arseniiv]

Viktor92 в сообщении #1242015 писал(а):

Допустим имеем уравнение вида $M(x,y)dy+N(x,y)dx=0$

По этому поводу можно вспомнить что-нибудь из старых тем о том же самом:

CptPwnage в сообщении #815927 писал(а):

Вообще такие манипуляции с формами объяснены у Арнольда в "Обыкновенных дифференциальных уравнениях" в начале, если в двух словах то формализм такой:
$dx$ и $dy$ линейные операторы, которые на векторе $(a,b)$ дают соответственно $a$ и $b$, а выражение вида $A dx + B dy = 0$ понимается как верное на касательных векторах к интегральной кривой (где действие $dx$ и $dy$ на векторе описано выше).

плюс этот пост Munin плюс

g______d в сообщении #816006 писал(а):

Если нужно общее определение, то вот интересное обсуждение:

http://mathoverflow.net/questions/76620 ... -operators

Там же ссылки на литературу. Правда, участники не размениваются на мелочи и сразу определяют уравнения в частных производных.

(это всё из одной и той же темы).