"Задача, взятая с потолка" (Д/Г, плоские кривые)

[e7e5]

Размышляю над такой задачкой:
viewtopic.php?t=14527
или иными словами: Нужно найти плоскую кривую такую, что при каждом малом приращении dx абсциссы x происходит постоянно возрастающее приращение deltaL длины кривой: 1) – первое преращение dx соответствует длине кривой 1*deltaL, 2)следующее второе приращение dx соответствует длине кривой 2*deltaL, и.т.д, n) n следующее приращение dx соответствует длине кривой n*deltaL. Интуиция подсказывает, что с физической стороны кривая очень может быть похожа на логарифмическую спираль, но с математикой пока идей нет...

[Бодигрим]

Насколько я понял $\Delta l$ - некоторое конечное приращение? А $dx$ - это малое, но все-таки конечное приращение?

[e7e5]

да, dx малое конечное приращение, по крайне мере допущение из основной "физической" задачи по первоначальной ссылке. И приращение длины кривой также конечное ( просто вместо греческой буквы написал слово)ю Сорри...

[Henrylee]

Навскидку "вульгарно" в голову приходит следующее
$ds=C x\,dx$, отсюда

$$ y\prime=\sqrt{C^2x^2-1} $$

[e7e5]

Можно подробнее... Если теперь известно уравнение y(x), 1-я производная функции, то проверяем, какова будет длина кривой. Квадрат из первой производной +1 и дальнейшее интегрирование дает длину. Длина должна должна получать постоянные приращения, а там квадраты чисел ( если брать целые х) получаются. Что-то туплю...Сорри. Давно это было.

[Henrylee]

e7e5 писал(а):

Длина должна должна получать постоянные приращения, а там квадраты чисел ( если брать целые х) получаются.

Разве так? Вы же сами говорили, что длина должна получать приращения порпорциональные номеру кусочка дуги (или, что то же самое в непрерывном случае, пропорционально координате $x$). Тут так и получается

$$ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=Cx\,dx $$

[e7e5]

Вы правы, говорил. Отвлекся..., квадраты целых чисел ( пусть x пробегает 1,2,3,4,...) при подобранном С (равным двум например) , разность между соседеними квадратами чисел и будет давать постоянное приращение. ведь так? 3, 5, 7, 9, 11... - арифметическую прогрессию

[Henrylee]

Да, а именно, длина дуги будет асимптотически порпорциональна квадрату времени (длине промежутка на оси $x$), а это и есть равноускоренное движение.

Вот только мне сейчас показалось, что мы решали другую задачу, а не ту, что у Вас по ссылке. Вроде как ТАМ речь идет о том, что равноускоренно движется проекция на потолке, а по дуге - равномерно. А здесь - наоборот.
Впорчем, нет, перечитал - то же самое.

[e7e5]

Спасибо. дело было так, просто ехал в поезде. На стене табло с бегущей строкой. Потолок воннутый, на нем отражются буквы. Ну как первое приближение был тот набросок по ссылке...
Надо осмыслить результат...

[ewert]

e7e5 писал(а):

Спасибо. дело было так, просто ехал в поезде. На стене табло с бегущей строкой. Потолок воннутый, на нем отражются буквы. Ну как первое приближение был тот набросок по ссылке...
Надо осмыслить результат...

... и заодно само условие. "Изображение" движется вовсе не по потолку, а за ним.

[e7e5]

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

Спасибо. дело было так, просто ехал в поезде. На стене табло с бегущей строкой. Потолок воннутый, на нем отражются буквы. Ну как первое приближение был тот набросок по ссылке...
Надо осмыслить результат...

... и заодно само условие. "Изображение" движется вовсе не по потолку, а за ним.

Не понял вас. Точечный источник ( точка) света движется горизонтально по стене. На потолке прямо над стеной видим отражение этого источника света. Так что получается, что горизонтальная прямая линия (движение точки- причина) и кривая, по которой движется изображение ( следствие от того что есть причина - светящаяся точка) лежат в одной плоскости. Если первое приближение не такое, подправьте. Спасибо.

[ewert]

e7e5 писал(а):

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

Спасибо. дело было так, просто ехал в поезде. На стене табло с бегущей строкой. Потолок воннутый, на нем отражются буквы. Ну как первое приближение был тот набросок по ссылке...
Надо осмыслить результат...

... и заодно само условие. "Изображение" движется вовсе не по потолку, а за ним.

Не понял вас. Точечный источник ( точка) света движется горизонтально по стене. На потолке прямо над стеной видим отражение этого источника света. Так что получается, что горизонтальная прямая линия (движение точки- причина) и кривая, по которой движется изображение ( следствие от того что есть причина - светящаяся точка) лежат в одной плоскости. Если первое приближение не такое, подправьте. Спасибо.

Хрен его знает, в одной или нет. Если наблюдатель находится почти в той же плоскости, что и бегущая строка, а потолок перпендикулярен им обоим -- то да. Это как приближение можно принять.

Однако. Изображение-то всяко не по потолку бегает, а за ним. Потолок-то -- это ведь зеркало.

[Henrylee]

Как я понял, положением наблюдателя и релятивистскими эффектами мы пренебрегаем

[e7e5]

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

ewert писал(а):

e7e5 писал(а):

Спасибо. дело было так, просто ехал в поезде. На стене табло с бегущей строкой. Потолок воннутый, на нем отражются буквы. Ну как первое приближение был тот набросок по ссылке...
Надо осмыслить результат...

Однако. Изображение-то всяко не по потолку бегает, а за ним. Потолок-то -- это ведь зеркало.

Согласен..., нужно подумать, пока это все-таки нематематический вопрос... Задачу то обдумываю, из нее получилась математическая подзадача... Но от потолка ведь свет отражается и там формируется изображение? Релятивиствкими эффектами и положением наблюдателя пренебрегли в данном случае ( а если где-то есть подобный эффект в масштабах вселенной ?)

[ewert]

e7e5 писал(а):

Но от потолка ведь свет отражается и там формируется изображение?

"Там" -- это за зеркалом, а не на нём.

Релятивизмами разрешаю пренебречь.