Минимальный многочлен для точки на единичной окружности.

[Сергей Маркелов]

Возьмем единичную окружность с центром в нуле, а на ней какую-либо точку. У соответствующего комплексного числа (если оно алгебраическое) есть минимальный многочлен. Вопрос: может ли он иметь нечетную степень?

Например, если взять число $\cos{\frac{\pi}{9}} + I\cdot\sin{\frac{\pi}{9}}$ , то у него минимальный многочлен $x^6-x^3+1$ имеет степень 6, т.е. четную. Буду благодарен за пример с нечетной степенью или доказательство, что такого быть не может (тривиальные примеры $x+1$ и $x-1$ исключаем)

Спасибо.

[ИСН]

С корнями из единицы ловить было сразу нечего: у них минимальные полиномы (круговые) имеют степень $\varphi(n)$, а она чётна. Могут ли тут на окружности сидеть ещё какие-то числа, вот вопрос.

-- менее минуты назад --

То есть не так. Числа-то там есть. А вот насчёт нечётной степени неясно.

[angor6]

Из сопряжённости комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами следует, что всякий многочлен нечётной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

По-моему, в этом что-то есть...

[Сергей Маркелов]

Возьмем число $x=\frac{\sqrt{3}}{3}+I\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}$. Модуль этого числа равен 1. Минимальный многочлен $3\,x^4+2\,x^2+3$. Но вряд ли аргумент этого числа соизмерим с $\pi$.

[g______d]

Нашёл здесь

https://link.springer.com/content/pdf/1 ... 1371-5.pdf

Proposition 3.

И доказательство простое: если $p$ -- минимальный многочлен (степени $n$) алгебраического числа $\alpha$ с $|\alpha|=1$, то он же является минимальным для $\alpha^{-1}$. Из единственности минимального многочлена получаем, что $p(z)$ и $z^n p(1/z)$ -- один и тот же многочлен.

Следовательно, все корни $p$ разбиваются на пары $(z,z^{-1})$. Если степень $p$ нечётна, то хотя бы одна пара вырождена, а тогда $p(z)=z\pm 1$, потому что иначе он не будет неприводимым.

[Сергей Маркелов]

g______d в сообщении #1241649 писал(а):

И доказательство простое: если $p$ -- минимальный многочлен (степени $n$) алгебраического числа $\alpha$ с $|\alpha|=1$, то он же является минимальным для $\alpha^{-1}$. Из единственности минимального многочлена получаем, что $p(z)$ и $z^n p(1/z)$ -- один и тот же многочлен.

Следовательно, все корни $p$ разбиваются на пары $(z,z^{-1})$. Если степень $p$ нечётна, то хотя бы одна пара вырождена, а тогда $p(z)=z\pm 1$, потому что иначе он не будет неприводимым.

Да, все понятно, спасибо большое!