Поставить три точки в одну плоскость с тремя другими

[_genius_]

Разумеется все координаты заданы не на плоскости, а в трехмерном пространстве, в этом-то вся и соль.
Проиллюстрирую чтобы долго не рассуждать:
http://meson.ad-l.ink/8HXrlpLtT/image.png
Мне известны координаты $A$, $B$ и $C$, а так же все расстояния и углы, найти надо координаты $D$, $E$ и $F$. Все 6 точек должны быть в одной плоскости.
Догадываюсь что надо как-то комбинировать скалярные и векторные произведения много-много раз, но как именно я не знаю.

[svv]

Правильно ли я понимаю?
Даны точки $A,B,C$, а также $D,E,F$.
Надо найти такие точки $D', E', F'$, чтобы расстояния и углы между ними соответствовали расстояниям и углам между $D,E,F$, при этом все три точки $D', E', F'$ лежали в плоскости $ABC$.

[_genius_]

svv в сообщении #1241373 писал(а):

Правильно ли я понимаю?
Даны точки $A,B,C$, а также $D,E,F$.
Надо найти такие точки $D', E', F'$, чтобы расстояния и углы между ними соответствовали расстояниям и углам между $D,E,F$, при этом все три точки $D', E', F'$ лежали в плоскости $ABC$.

Почти. Расстояние между $D$ и $B$ и угол между $A-B$ и $B-D$ тоже даны и тоже важны.

[arseniiv]

В таком случае вся сложность будет в повороте плоскости $\langle D,E,F\rangle$ до плоскости $\langle A,B,C\rangle$. Сначала можно рассмотреть поворот линейной части $\langle E-D,F-D\rangle$ этой плоскости до линейной части $\langle B-A,C-A\rangle$ той — это должно быть самым интересным, а потом определить недостающее смещение. Добавлю что-нибудь позже.

[_genius_]

arseniiv
Я представлял себе это совсем по-другому. Имея все углы и нормальный вектор к плоскости $ABC$ можно ведь как-то найти единичный вектор, смотрящий аккурат из $B$ в $D$, умножить его на $l$ и вуаля, $D$ готово. Потом повторить процедуру для $E$ и $F$.

[svv]

Тогда я пока не понял.
При преобразовании должны сохраниться расстояния/углы между $D,E,F$, а также:
расстояние $BD$
углы $ABD$ и $BDE$
Теперь точно?

[_genius_]

svv в сообщении #1241409 писал(а):

Тогда я пока не понял.
При преобразовании должны сохраниться расстояния/углы между $D,E,F$, а также:
расстояние $BD$
углы $ABD$ и $BDE$
Теперь точно?

Не понимаю чего Вы не понимаете. Вы ведь все сформулировали лучше меня в предыдущем посте.

Даны точки $A,B,C$ как координаты, а также $D,E,F$ в виде углов/расстояний между ними.
Надо "передвинуть" $D,E,F$ так, чтобы расстояние $BD$ равнялось $l$, угол $ABD$ равнялся $\beta$ и угол $BDE$ равнялся $\gamma$.
Я честно думал что можно как-то найти единичный вектор $BD$ из углов $\alpha$ и $\beta$ и аналогично для других точек. Но если это невыполнимо, то с радостью приму любое другое решение.

[EXE]

genius, я тоже, вероятно, не понимаю сути задания. Получается, Вам на одной плоскости надо воспроизвести Ваш рисунок, но с помощью вычислений? Если чёрные точки определяют плоскость, тогда остальные точки, каждая через систему уравнений, получают свои координаты на этой плоскости, но в трёхмерном пространстве. Например, точка D принадлежит этой плоскости, угол между прямыми известен, расстояние до B известно – три уравнения, три неизвестные. И так же последовательно остальные две точки.

[svv]

Какой из двух вариантов правильный?:
$\bullet$ расстояние $BD$ уже равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ уже равны $\beta$ и $\gamma$, а проблема только в том, что точки $D,E,F$ не лежат в плоскости $ABC$;
$\bullet$ расстояние $BD$ сейчас не равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ не равны $\beta$ и $\gamma$, а нужно, чтобы всё это выполнялось, когда эти точки переместятся в плоскость $ABC$.

[_genius_]

svv в сообщении #1241419 писал(а):

Какой из двух вариантов правильный?:
$\bullet$ расстояние $BD$ уже равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ уже равны $\beta$ и $\gamma$, а проблема только в том, что точки $D,E,F$ не лежат в плоскости $ABC$;
$\bullet$ расстояние $BD$ сейчас не равно $\ell$, углы $ABD$ и $BDE$ не равны $\beta$ и $\gamma$, а нужно, чтобы всё это выполнялось, когда эти точки переместятся в плоскость $ABC$.

Второй. $DEF$ вообще нигде пока не лежат, заданы они лишь относительно друг друга.

-- Чт авг 17, 2017 22:46:12 --

EXE в сообщении #1241418 писал(а):

genius, я тоже, вероятно, не понимаю сути задания. Получается, Вам на одной плоскости надо воспроизвести Ваш рисунок, но с помощью вычислений? Если чёрные точки определяют плоскость, тогда остальные точки, каждая через систему уравнений, получают свои координаты на этой плоскости, но в трёхмерном пространстве. Например, точка D принадлежит этой плоскости, угол между прямыми известен, расстояние до B известно – три уравнения, три неизвестные. И так же последовательно остальные две точки.

Все правильно, только неизвестных все-таки 9, а не 3. На каждую точку по 3 координаты. Не уверен что можно составить такую систему (а про аналитическое решение можно и не мечтать), но не могу сходу сказать что нельзя.

[arseniiv]

(Что было написано к моменту великих потрясений.)

Ну, в принципе, потом решение можно оптимизировать, но, наверно, лучше не быть на низком уровне с самого начала. Итак, попробуем пока с (не аффинными) плоскостями. Тут действительно можно сразу спуститься на землю и представить их обе единичными нормалями $\mathbf n_1,\mathbf n_2$, и взять любой поворот, переводящий первый вектор во второй. В разных фреймворках это можно представить по-разному, но с матрицами это кошмарное выражение, не стоящее выписывания здесь. В алгебре Клиффорда соответствующий поворот будет иметь вид $\mathbf v\mapsto R^{-1}\mathbf vR$, где $R = \sqrt{\mathbf m\mathbf n} = \exp\dfrac{\mathbf m\wedge\mathbf n \arccos(\mathbf m\cdot\mathbf n)}{4\sqrt{1 - (\mathbf m\cdot\mathbf n)^2}}}$. <И тут я остановился и обновил страницу.>

_genius_ в сообщении #1241420 писал(а):

$DEF$ вообще нигде пока не лежат, заданы они лишь относительно друг друга.

Ну вот. Зачем вы тогда сказали svv, что он всё пересказал правильно в первый раз? Не надо, значит, находить никаких преобразований, надо просто эти точки насчитать — это практически совсем другое!

-- Пт авг 18, 2017 01:08:00 --

Т. е., можно сказать, заданы ещё дополнительные пара длин и угол, или длина и пара углов, или три длины.

[svv]

Упс... А я думал, что первый. Ещё и потому, что картинку понял как объёмную:

[_genius_]

arseniiv в сообщении #1241427 писал(а):

Ну вот. Зачем вы тогда сказали svv, что он всё пересказал правильно в первый раз? Не надо, значит, находить никаких преобразований, надо просто эти точки насчитать — это практически совсем другое!

Ну не замечаю я сходу такие вещи. Разобрались ведь в итоге.
Именно и только насчитать численным решением системы из 9 линейных и нелинейных уравнений? Или все-таки есть элегантный подход, позволяющий найти вектор из $B$ в $D$ стандартными геометрическими методами?

[arseniiv]

А, в принципе, чего я жалуюсь, мой кусок решения всё так же применим.

-- Пт авг 18, 2017 01:12:37 --

_genius_, не, с вами всё хорошо. Я ещё и ограничения на размещение в той плоскости на рисунке не посмотрел вовремя.

[svv]

Как сказал arseniiv, точки надо насчитать.
Вы знаете, где расположены нужные точки, если Вам известны векторы $\vec{BD}, \vec{DE}, \vec{EF}$.
Про каждый из этих векторов известны:
$\bullet$ длина;
$\bullet$ плоскость, в которой он лежит;
$\bullet$ угол, который он составляет с предыдущим вектором (для $\vec{BD}$ предыдущим является $\vec{AB}$)
Отсюда можно восстановить сам вектор, причём в общем случае есть два решения (повернуть в плоскости после предыдущего шага можно, условно говоря, направо и налево).

Итак, нужно сначала научиться решать эту вспомогательную задачу, а потом применить это решение три раза.