Кратный несобственный интеграл

[dmkozyrev]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, аналитически вычислить значение следующего несобственного интеграла:

$$\iint\limits_{1}^{+\infty} \frac{dx dy}{y^3x^2\ln{(xy)}}$$

Заменой $z = xy, dy = \frac{dz}{x}$ удалось свести интеграл к виду $\int\limits_{1}^{+\infty} dx \int \limits_{x}^{+\infty} \frac{dz}{z^3\ln{z}}$. Дальнейшие попытки ни к чему не привели. Вольфрам же выдает красивый ответ

[DeBill]

dmkozyrev
Хорошая замена. Осталось поменять порядок интегрирования. Получится однократный интеграл.
Беда - в логарифме в знаменателе. Но - можно: давайте число "3" примем за $\alpha$, а тогда производная по $\alpha$ - хороший интеграл. Найдем его, и проинтегрируем полученную весчь по $\alpha$ от 3 до бесконечности....

[GAA]

Если интегралы, зависящие от параметра, ещё не проходили, то можно и по-другому. После сведения к однократному можно выполнить замену $z=e^t$, затем разложить $e^t-1$ в ряд, почленно проинтегрировать и найти сумму степенного ряда.
(Удалил своё решение, чтобы не мешать получить его самостоятельно.)

[ИСН]

https://math.stackexchange.com/question ... 41#2395341