Разложение функций в ряд Фурье

[e2e4]

Заранее извиняюсь за дурацкий вопрос, но все-таки есть некоторые сомнения, хотелось бы знать точно.

Если у меня есть набор точек c абсциссами $0,1\dots x_n$, и мне необходимо приблизить эти точки с помощью тригонометрического ряда, могу ли я воспользоваться дискретным преобразованием Фурье только по синусам на отрезке $-x_n...x_n$, взяв точки с абсциссами $-x_n...0$ по закону $f(-x)=-f(x)$, т.е. достроив необходимые мне точки в предположении нечетности функции?

Из утвердительного ответа на первый вопрос, следует ли, что произвольный набор точек возможно приблизить рядом синусов, сместив начало оси абсцисс к первой точке, и отобразив на отрицательную полуплоскость заданные точки по закону нечетной функции?

Суть вопроса - осуществить разложение в тригонометрический ряд произвольного набора точек (результатов измерений в строго заданные моменты времени) только по синусам.

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

мне необходимо приблизить эти точки с помощью тригонометрического ряда, могу ли я воспользоваться дискретным преобразованием Фурье только по синусам

Непонятно, почему для получения ряда Вы пользуетесь преобразованием Фурье?

[e2e4]

Наверное, я неправильно выразился. Мне необходимо разложение в ряд Фурье.

[Brukvalub]

e2e4 писал(а):

Суть вопроса - осуществить разложение в тригонометрический ряд произвольного набора точек (результатов измерений в строго заданные моменты времени) только по синусам.

Именно так, как Вы описали в начале, все и делается, только эффективно нечётное продолжение функции обычно не делают, а пользуются сразу готовыми формулами, из этого продолжения вытекающими.

[RIP]

Для разложения только по синусам необходимо, чтобы в нуле функция равнялась нулю.

Добавлено спустя 8 минут 21 секунду:

Если уж хотите, чтобы разложение было только по синусам, то смещайте точки, скажем, в 1,2,3,...

[e2e4]

Все ясно, спасибо!

[deja_vu]

Доброго времени суток!
(имхо) мне показалось что эта тема как раз подходит для моей проблемы поэтому не создаю новую.
Подскажите пожалуйста литературу по преобразованию Фурье (прямому, обратному, дискретному) описанному на более-менее понятном языке, сам я полистал несколько книг, но к сожалению не смог найти вразумительного объяснения как это всё работает...
Задача заключается в том чтобы сначала понять как работает преобразование Фурье, а потом разложить функцию (предварительно заготовленную из нескольких синусоид) на эти же самые синусоиды и исключить ненужные компоненты как шум. Но сделать это не на уровне маткада или матлаба командами, а на бумаге карандашом, т.е. грубо, например, как посчитать интеграл сложной графически через сумму прямоугольников или свёртку осуществить с большим шагом или расписать сложную программу через грубый алгоритм.

Заранее благодарен

[deja_vu]

oh hell, простите пиплы за элементарную неграмотность, но не с решением задачи, а теоретической базой помогите пожалуйста!!

[Brukvalub]

Нуссбаумер Г. — Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток
Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 2)
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций и функционального анализа
Кудрявцев Л.Д. — Курс математического анализа (том 3)
Ильин В.А., Позняк Э.Г. — Основы математического анализа. Часть 2.
Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. — Функциональный анализ. Курс лекций.