Максимизирующий функционал p(x)

[kps]

Всем привет!

Задача на нахождение максимизирующего функционала, с какого бока подступиться, так и не понял, возможно кто-то поможет понять как ее решить:

Найти функцию p(x), максимизирующую функционал

$\left( p \right) = \int\limits_{0}^{ \infty } e^{\frac{ (x-4)^{2} - (x+4)^2}{ 4 }}\ln{p(x)} dx$

при ограничениях $p(x) > 0$ , $\int\limits_{0}^{\infty} p(x) dx = 1$


Вычислить достигнутое значение функционала.

Тема: Метод максимального правдоподобия

[DeBill]

kps
А у Вас там минус в показателе не потерялся?
(А то упрощается ведь. И ММП как то сбоку тогда)
Если нет, то:
ответ, видимо, $4e^{-4x}$.
И надо смотреть на неравенство Рао-Крамера, и его вывод, может, на эффективность - там где то должно быть....

[deep down]

Сначала упростим экспоненту до $e^{-4x}$.

Вариационное исчисление говорит, что для некоторого $\lambda\in\mathbb{R}$ экстремаль будет решением уравнения
$\frac{\partial (e^{-4x}p)}{\partial p} + \lambda\frac{\partial (p)}{\partial p} = 0$,
откуда и найдёте указанный DeBill ответ.
Только убедитесь, что это действительно максимум.

Хотите - проверьте сами по рабоче-крестьянски, что будет, если к $p$ прибавитьь функцию вида $1_{[t,t+\delta]} - 1_{[s,s+\delta]}$ для каких-нибудь $t,s>0$. Только если от $p$ мы требуем лишь интегрируемости, придётся быть аккуратными с условием $p>0$.

[kps]

Я посмотрел тему вариационных исчислений, а точнее уравнение Эйлера Логранжа.
Насколько я понимаю, если у нас есть интегральный функционал, например (для простоты)
I(p) = \int\limits_{a}^{b} L(x, p,p')dx;
Нам необходимо найти вариационную производную в точке ноль
J(t) = I(p+ \delta t)=\int\limits_{a}^{b} L(x,p+\delta t, p'+\delta' t)dx;
J'(t) = \frac{d}{d t} I(p+ \delta t)\left.{ }\right|_{ t=0 } =\int\limits_{a}^{b}( \frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'} ) )\delta dx=0;
\delta (a) = \delta (b) = 0;
поскольку \delta не равно нулю, получаем наше уравнение Эйлера Логранжа:
\frac{d L}{d p} - \frac{d}{d x}(\frac{d L}{d p'}) = 0
_______________________________________________________________
Итак, теперь к нашей задаче, упростим функционал и получим:
I(p)=\int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}\ln{p(x)} dx;
значит L = e^{-4x}\ln{p(x)}
воспользуемся уравнением Эйлера Логранжа
\frac{d L}{d p} = e^{-4x}\frac{ 1 }{ p(x) }p'(x)=0;
так как по условию p(x)>0; \Rightarrow e^{-4x}p'(x)=0
поскольку e^{-4x}>0 \Rightarrow p'(x)=0 \Rightarrow p(x)=const
отсюда \int\limits_{0}^{\infty} e^{-4x}C dx = -\frac{ C }{ 4 } e^{-4x}\left.{ }\right|_{ 0 }^{ \infty } = \frac{ C }{ 4 }
_______________________________________________________________
Где же ошибка в рассуждениях?
И зачем по условию дан \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1?

[DeBill]

kps
1.Неправильно найдена производная: в знаменателе надо $p(x)$
2. Это - задача с ограничениями (интеграл от $p$ минус 1 равно 0 ), решать надо "по Лагранжу": домножить ограничение на лямбду, и сложить с минимизируемой функцией, и т.д.

[svv]

kps в сообщении #1240956 писал(а):

И зачем по условию дан $\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1$?

Правильно сделали, что спросили, без этого невозможно осмысленно решать.
Какую бы функцию $p_1(x)$ Вы ни взяли, я возьму $p_2(x)>p_1(x)$ и получу ещё большее значение исходного функционала. То есть максимального значения не существует.

С ограничением всё сразу становится намного хитрей.

-- Ср авг 16, 2017 01:53:38 --

Да, ещё фамилия учёного Лагранж, а не Логранж.

[kps]

Посмотрел тему Вариационные задачи на условный экстремум и вот что получилось:
Полезные ссылки:
* http://nikolay-d-kopachevsky.com/IGSE.pdf
* http://portal.tpu.ru:7777/SHARED/k/KONV ... /01-13.htm
* http://alnam.ru/book_ads.php?id=16
_________________________________________________________________
Немного теории (на память):
Пусть дан функционал
$I(p)=\int\limits_{a}^{b} F(x,p,p')dx$

И дано дополнительное условие, которое ограничивает наш функционал
$K(p)=\int\limits_{a}^{b} G(x,p,p')dx=l$

Тогда, запишем
$\widetilde{I}(p)=I(p)+ \lambda K(p)=\int\limits_{a}^{b} H(x,p,p')dx$
$H(x,p,p')= F(x,p,p')+ \lambda G(x,p,p')$

Запишем уравнение Эйлера
$\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}-\frac{d}{d x}H'_{p'}=0$
_________________________________________________________________
Теперь к нашей задаче
$I(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx$
$K(p)=\int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx=1$

Запишем функционал в виде:
$\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1$

Следовательно:
$F(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}$
$G(x,p)=p(x)$
$H(x,p)=e^{-4x} \ln{p(x)}+ \lambda p(x)$

Запишем уравнение Эйлера
$\frac{d \widetilde{I}(p)}{d y} =H'_{p}=\frac{ e^{-4x} }{ p } + \lambda =0$ $\Rightarrow p=-\frac{ e^{-4x} }{ \lambda }$

Найдем $\lambda$ из дополнительного условия
$\int\limits_{0}^{\infty} -\frac{ 1 }{ \lambda }e^{-4x}dx=1; \Rightarrow \lambda =-\frac{ 1 }{ 4 }$

Отсюда $p(x)=4e^{-4x}$

Значение функционала равно
$I(p)=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-4x}\ln{4e^{-4x}} dx=\frac{ 1 }{ 4 } (\ln{4}-1 )$

Для проверки, что мы нашли максимум, найдем 2ю производную
$H''_{p}=-\frac{ e^{-4x} }{ p^{2} } =-\frac{ e^{4x} }{ 16 }$ $\Rightarrow$ 2я производная меньше нуля на всем

промежутке, значит мы нашли максимум

Как-то так получилось.
Возможно у кого-то будут замечания

[deep down]

Для очистки совести можно добавить, что найденное $p$ везде положительно.

[svv]

Чтобы гарантировать $p(x)>0$, можно заменить $p(x)=e^{y(x)}$ и искать $y(x)$. Тогда, в Ваших обозначениях,
$F(x, y)=e^{-4x}y$
$H(x, y,\lambda)=e^{-4x}y+\lambda e^{y}$

kps в сообщении #1241131 писал(а):

$\widetilde{I}(p)=\int\limits_{0}^{ \infty}e^{-4x} \ln{p(x)}dx+ \lambda \int\limits_{0}^{\infty} p(x)dx+1$

Если бы слагаемого $+1$ не было (наилучший вариант), я бы понял. Если бы вместо него было $-\lambda$, тоже было бы понятно. Но $+1$ ?

[kps]

svv в сообщении #1241321 писал(а):

Если бы слагаемого $+1$ не было (наилучший вариант), я бы понял. Если бы вместо него было $-\lambda$, тоже было бы понятно. Но $+1$ ?

Конечно же это ошибка, спасибо!

Всем большое спасибо за помощь!