2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Целые между степенями целых
Сообщение14.08.2017, 00:42 
Аватара пользователя


22/11/13
550
Ферма указал, что 26 - единственное целое между квадратом ($5^2$) и кубом ($3^3$) целых. Существуют ли такие $a^x$ и $b^y$ (все целые, неотрицательные), что между ними располагается целое $k$ (при этом $a^x+2=b^y$)?

Случай $a^0$ и $b^1$ тривиален, $k=2$. Для $a^1$ и $b^1$ имеем $k=n$. Далее два варианта:

1) $a^1$ и $b^m$, где $k_{1}=2^m-1$, $k_{2}=k_{1}+3^m-2^m$, $k_{n}=k_{n-1}+(n+1)^m-n^m$;
2) $a^m$ и $b^1$, где $k_{1}=2$, $k_{2}=k_{1}+2^m-1$, $k_{n}=k_{n-1}+n^m-(n-1)^m$;

Очевидно, что случай $a^1$ и $b^1$ - единственный, когда $x=y$. Для всех остальных случаев ($x>1, y>1$) нашел только 26 (возможно потому, что рассматривал маленький диапазон). Существуют ли еще решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые между степенями целых
Сообщение14.08.2017, 08:51 
Аватара пользователя


12/10/16
674
Almaty, Kazakhstan
очевидно, вы ищете целые значения $a=y+x$ функции:
$$x^3-(x-y)^2-n=0$$
где $n=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые между степенями целых
Сообщение14.08.2017, 11:14 
Аватара пользователя


12/10/16
674
Almaty, Kazakhstan
просмотрите таблицу значений ($x, y, z$) 3D графики функции:
$$ (x^3-(x-y)^2)-z=0$$
Есть ли там повторяющиеся значения $z$?.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov, B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group