Нерешаемые функциональные уравнения

[Skipper]

У меня интересный вопрос возник.. О вычислимости.

Если мы изучаем какое нибудь уравнение, то всегда можно найти его неизвестную.
Если не аналитическим способом, через элементарные функции, то хотя бы численным, т.е. приближенным методом.

К примеру, уравнение
$x^5 + 3x^3 - 8x^2 + x + 1 = 0$

Выразить $x$ через радикалы не удается, но можно просто перебором, пробовать разные значения, каждый раз сужая поиск, и в конечном итоге, найти
все неизвестные, численным, т.е. приближенным методом.
Также, можно видимо, получить и ряд Тейлора, приближающий решение этого уравнения.
Вывод - приближенным способом, мы все таки можем найти решение со сколь угодно большой точностью.

В случае же, когда у нас есть функциональное уравнение, которое невозможно решить аналитически, не будет найдена сама функция.
И даже возможно, не будет найден некий ряд, приближающий определение этой функции.
Означает ли это, что никаким и численным, т.е. приближенным методом нельзя будет найти значение этой функции от какого-нибудь параметра?

Вот пример, допустим, есть функциональное уравнение (включает и производную, т.к. дифференциальные уравнения - тоже часть функциональных уравнений).

Общая запись нашего функционального уравнения будет $F(Df, f, x)$. Только здесь $F$ - не функция от 2-х переменных
$f$, $x$, а переменная только $x$,
а $ f$ - сама по себе функция, $f(x)$.
$Df$ - это производная этой функции, т.е. второй вариант записи $\frac{d f}{d x}$

Допустим, из некой математической теории, стало известно, что справедливо, что-нибудь, типа этого -

$f^5(x) - 8f^2(x) + f(x) - 25 x + 1 + f(\frac{1}{x}) + f (\frac{1-x}{1+x}) + \frac{Df ^{10} (x) \cdot 5 f(x) + x}{Df (x) f(x+1) + x^3 + 20} = 0 $

Допустим, аналитически, неизвестно как найти, искомую функцию $f(x)$ .
Но вообще говоря, какая-то функция, существует, Которая удовлетворяет этому функциональному уравнению.
(может даже и не одна существовать, но предположим в нашем случае, такая функция реально, существует одна).

Что в итоге? Т.к. аналитически, вся математика, вместе с функциональным анализом и прочим - не может дать ответ на то,
какая же здесь функция $f(x)$, и даже приближенно, в виде некого функционального ряда, включающего $x $,
то получается, никак невозможно и узнать, чему будет $f(2)$ к примеру, до тех пор, пока мы аналитически не решим это функциональное уравнение??

Т.е. мы столкнулись со случаем - или 1) решаем аналитически, и находим искомое $f(2)$,
2) или даже приближенные численные методы бессильны и математика сказать вообще ничего не может, каково должно быть значение,
правильно я понимаю?

Заранее, спасибо.

[worm2]

Можно попробовать построить достаточно плотную сетку, присваивать иксам значения из этой сетки и получать какие-то соотношения связывающие значения функции в разных точках, которые, вообще говоря, не будут лежать в узлах сетки, но за уши их можно к ним притянуть с какой-то погрешностью. Т.е. тут будут погрешности не только в значениях функций, но и в их аргументах. Предполагая априори, что функция (может быть, не везде) удовлетворяет условию Липшица с заранее заданной (может быть, большой) константой, можно погрешности аргументов оценить погрешностями значений. Получится какая-то система обычных (не функциональных) уравнений на конечном множестве неизвестных, которую можно попробовать решить. Не факт, что из этого выйдет толк. Может получиться так, что наши вычисления что-то будут выдавать, хотя исходное уравнение вообще не имеет решений (вообще-то это может случиться и с гораздо более простыми уравнениями, например, с линейными дифурами с постоянными коэффициентами 2-го порядка, про которые математика знает всё). Вполне может получиться, что исходное уравнение имеет несколько решений, это более приятный случай, значит, можно, какое-то значение (или значения) фиксировать, и по ним уже строить остальную функцию.
Но, в целом, Вы правы, общий метод (даже приближённый) решения функциональных уравнений науке не известен.

[dsge]

Вы можете рассматривать функциональное уравнения, как функционал в каком-либо функциональном бесконечномерном пространстве
$F(Df, f, x)=0$. (1)
Численно всегда можно решить такой функционал с помощью, скажем, проекционных методов типа Галеркина, т.е. выбрать базисные функции, например полиномы Чебышева или тригонометрические, выразить решение через их конечную комбинацию с неизвестными коэффициентами, подставить в (1), приравнять скалярные произведения остатков с базисными функциями к нулю или значения остатков в фиксированных точках (метод коллокации) и решить полученую систему нелинейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов (если она имеет решение).

[EXE]

Skipper, без начальных данных численно Вы не решите, а с начальными данными это неявное дифференциальное уравнение.

[Mikhail_K]

dsge в сообщении #1239769 писал(а):

Вы можете рассматривать функциональное уравнения, как функционал в каком-либо функциональном бесконечномерном пространстве

Может, как оператор?

[dsge]

Ну, да. Несвязка и нуль будут принадлежать тому же пространству (ноль справа не число, а функция).

[ИСН]

Короче, нет проблемы с вычислимостью. Есть (не у всех функциональных уравнений, но довольно часто) проблема с единственностью.

[Skipper]

dsge . Вы меня удивили. Тогда получается, численными методами, используя
"функциональное бесконечномерное пространство " - всё таки можно решить абсолютно всё ????

проблема с единственностью.

если конечно, эта искомая функция, единственна.

[пианист]

С точностью до сходимости приближенных конечномерных задач к исходной бесконечномерной.
А это совсем не тривиальный вопрос.