1 2 4 7 10 16 21 27 ... всегда ли она возрастает?

[Ktina]

Берём число 1.
Далее, если число чётное, делим на 2 и прибавляем к частному наименьшее простое число, которое мы ещё не использовали.
Если нечётное, вычитаем 1, делим на 2 и прибавляем к частному наименьшее простое число, которое мы ещё не использовали.
Получается последовательность 1 2 4 7 10 16 21 27 ...
Будет ли она всегда возрастать и как об этом узнать?
Заранее благодарю!

[grizzly]

Ktina в сообщении #1239142 писал(а):

Будет ли она всегда возрастать и как об этом узнать?

подсказка: посмотрите по индукции, что $a_n<2p_{n-1}$.

[Ktina]

grizzly
Большое спасибо!

-- 08.08.2017, 23:20 --

А последовательность красивая, правда?

[grizzly]

Ktina в сообщении #1239312 писал(а):

А последовательность красивая, правда?

Согласен. А задача вполне годится для какой-нибудь школьной олимпиады, я считаю. Это двухходовка, в ней всё просто, но неплохо завуалировано.

[grizzly]

Можно напридумать несколько задач по мотивам. Например:

I. Бесконечно ли количество простых в последовательности из первого сообщения?
Не знаю, насколько реально для современной математики решить такую задачу. Хотя и выглядит сложно, но сейчас настолько развита техника по распределению простых, что не знаю.

IIa) Продолжить последовательность: 1,3,3,1,1,3,1,9,7,15,11... (подсказка: это просто, почти)
IIb) Существуют ли конечные предельные точки (upd: частичные пределы) у этой последовательности? (подсказка: вряд ли это по силам современной математике :)

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1239451 писал(а):

конечные предельные точки

А что это такое?

[grizzly]

"Конечная" означает строго больше минус бесконечности и строго меньше плюс бесконечности.
"Предельная точка" -- это то же, что частичный предел. Про каждое из этих слов в отдельности просьба не уточнять.