2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Решение БТФ методом деления
Сообщение06.08.2017, 11:03 


15/04/17
5
БТФ, частный случай, n=3.
Имеется: Z>X>Y - целые, положительные числа. Z, X - нечётные, Y - чётное.
Исходное положение: чётное число, имеющее множителем $2^n$, при n>2, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Имеем:
$X^3+Y^3=Z^3$.
Возведём левую и правую часть исходной формулы в квадрат.
$X^6+2X^3 Y^3+Y^6=Z^6$.
Преобразуем полученную формулу следующим образом:
$Z^6-X^6=(Y^6+2X^3Y^3)=Y^3(Y^3+2X^3 )$. (1)
Разложим ф. (1) на множители.
$Z^3+X^3=Y^3+2X^3$; (2)
$Z^3-X^3=Y^3$. (3)
$Y^3$ - чётное число, поэтому выразим его как $2^3Y_1^3$.
Запишем ф. (2) и ф. (3) следующим образом:
$Z^3+X^3=2(2^2Y_1^3+X^3 )$;
$ Z^3-X^3=2^3Y_1^3$.
Примем $Z^3+X^3=2(2^2Y_1^3+X^3 )$ в виде $Z^3+X^3=2Y_2^3$, при нечётном $Y_2^3$, поскольку целое положительное число можно выразить n – ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального.
Итак, имеем:
$ Z^3+X^3=2Y_2^3$; (4)
$Z^3-X^3=2^3Y_1^3$. (5)
Сложим почленно ф. ф. (4) и (5).
Откуда:
$2Z^3=2Y_2^3+2^3Y_1^3$, или
$Z^3=2(Y_2^3+2^2Y_1^3 )/2$;
$Z^3=Y_2^3+2^2Y_1^3$. (6)
Вычтем почленно из ф. (4) ф. (5).
$2X^3=2Y_2^3-2^3Y_1^3$.
$X^3=2(Y_2^3-2^2Y_1^3)/2$;
$X^3=Y_2^3-2^2Y_1^3$. (7)
Из ф. ф. (6) и (7) видно, что $Y_2^3$ и $Y_1^3$ не могут иметь общих множителей при сохранении условия о взаимной простоте Z,X,Y; а ф. (6) и ф. (7), т. е. $Z^3$ и $X^3$ можно разложить на множители по формулам разложения на множители разности n-х и суммы n-х степеней при нечётном n=2k+1.
Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).
$Z^3=(Y_2+2^{2/3}Y_1 )(Y_2^2-…+2^{4/3}Y_1^2 )$; (8)
$X^3=(Y_2-2^{2/3}Y_1)(Y_2^2+...+2^{4/3}Y_1^2)$ . (9)

Как видно из ф. ф. (8) и (9) $Z^3$ и $X^3$ нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение
$X^3+Y^3=Z^3$ не имеет решений в целых положительных числах при нечётном n=3.
Примечание: при замене показателя n=3 на показатель n приведённое доказательство становится общим доказательством для нечётных n>2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение06.08.2017, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
gefestos в сообщении #1238732 писал(а):
Z, X - нечётные, Y - чётное.
Почему именно так? Почему чётным числом не может быть $X$ или $Z$?

gefestos в сообщении #1238732 писал(а):
$Z^3+X^3=Y^3+2X^3$; (2)
$Z^3-X^3=Y^3$. (3)
Собственно говоря, равенства (2) и (3) ничем не отличаются от друг-друга и от исходного уравнения.

gefestos в сообщении #1238732 писал(а):
Примем $Z^3+X^3=2(2^2Y_1^3+X^3 )$ в виде $Z^3+X^3=2Y_2^3$, при нечётном $Y_2^3$, поскольку целое положительное число можно выразить n – ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального.
! Число $Y_2$ вполне может быть иррациональным.

gefestos в сообщении #1238732 писал(а):
Как видно из ф. ф. (8) и (9) $Z^3$ и $X^3$ нельзя разложить на целочисленные множители
Почему нельзя? Во-первых, Вы путаете разложение на множители многочлена с разложением на множители его численного значения. Во-вторых, как только Вы допустили иррациональные выражения, сразу же все разговоры о разложении на целые множители потеряли смысл.

Точно так же я могу написать $7^2=9^2-2\cdot 4^2=(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})$ и заявить, что $7^2$ невозможно разложить на целочисленные множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 11:05 


15/04/17
5
Решение Большой теоремы Ферма методом деления
Ведерников С. И.
Теорема:
для целого натурального числа n>2 уравнение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z.
Доказательство.
Имеется $X^n+Y^n=Z^n$, где X, Y, Z, n – натуральные положительные числа.
Z > X >Y – взаимно простые числа, n > 2.
Произведём разложение на множители в уравнении $X^n+Y^n=Z^n$ при n>2. Есть три случая. Посыл общий: чётное число, имеющее множителем $2^n$, при n≥3, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел.
Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z , X – нечётными числами, Y – чётным числом, поскольку принципиальной разницы между X и Y в данном случае нет.
Рассмотрим первый случай, когда n > 2 чётное число.
Случай 1.
Z, X – нечётные, Y – чётное, n – чётное.
Имеется:
$X^n+Y^n=Z^n$.
Преобразуем исходное уравнение:
$Z^n-X^n=Y^n$. (1)
Разложим на множители ф. (1).
$Z^{n/2}+X^{n/2}=Y^{n-m}$; (2)
$Z^{n/2}-X^{n/2}=Y^m$. (3)
Хотя абзац после ф. (5) полностью разъясняет суть разложения на ф.(2) и ф. (3), поясним всё же этот момент. Сумма двух нечётных чисел и разность этих же чисел - числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, другое - множителем минимум $2^2$, а в общем случае $2^{n-1}$. Разложение на множители $Z^n-X^n=Y^n$ при чётном n=2k соответствует ф. (2) и ф.(3), но имеются два случая: первый, когда $Y^{n-m}$ имеет один множитель 2, а $Y^m$ - $2^{n-1}$; и когда $Y^{n-m}$ имеет множитель $2^{n-1}$, а $Y^m$ только один множитель 2. Вариантов разложения может быть несколько, но все они соотносятся с этими двумя случаями, отдельно друг от друга рассмотренными в Случай 1. (См. ф. (6) и ф. (11))
Из почленного сложения ф. (2) и ф. (3) имеем:
$2Z^{n/2}=Y^{n-m}+Y^m$;
$Z^{n/2}=(Y^{n-m}+Y^m)/2$; (4)
а из почленного вычитания ф. (3) из ф. (2) имеем:
$2X^{n/2}=Y^{n-m}-Y^m$;
$X^{n/2}=(Y^{n-m}-Y^m)/2$. (5)

Из ф. ф. (4) и (5) видно, что при соблюдении условия о нечётности Z и X необходимо, чтобы одно из чётных чисел $Y^{n-m}$ или $Y^m$ имело множителем только одно число 2. Тогда другое число должно иметь множителем $2^{n-1}$}, поскольку $Y^n$ – число чётное и имеет множителем минимум одно число $2^n$. При этом $Y^{n-m}$ и $Y^m$ не могут иметь общих множителей, кроме оговорённых выше кратных 2, поскольку в противном случае такие множители должны иметь также $Z^n$ и $X^n$, что противоречит условию о взаимной простоте Z, X и Y.
Поэтому $Y^{n-m}$ и $Y^m$ должны состоять из различных множителей числа $Y^n$ в той же степени, в степени n.
Поскольку из ф. (4) и ф. (5) следует, что одно из чисел $Y^{n-m}$ или $Y^m$ должно иметь множителем только одно число 2, а оба должны быть в степени n, то примем ф. (2) и ф. (3) в виде:
$Z^{n/2}+X^{n/2}=2Y_1^n$; (6)
$Z^{n/2}-X^{n/2}=2^{n-1}Y_2^n$; (7)
имея в виду, что $Y_1^n$ – число нечётное.
Из ф. ф. (4) и (5) выразим значение $Z^{n/2}$ и $X^{n/2}$, подставив вместо $Y^{n-m}$ значение $2Y_1^n$, а вместо $Y^m$ значение $2^{n-1}∙Y_2^n$.
$Z^{n/2}=(2Y_1^n+2^{n-1}Y_2^n)/2=Y_1^n+2^{n-2}Y_2^n$;
$X^{n/2}= (2_1^n-2^{n-1}Y_2^n)/2=Y_1^n-2^{n-2}Y_2^n$.
Итак, имеем:
$Z^{n/2}=Y_1^n+2^{n-2}Y_2^n$; (8)
$X^{n/2}=Y_1^n-2^{n-2}Y_2^n$. (9)
Поскольку $X^{n/2}$ является степенью числа X при чётном n≥4, то его можно разложить на множители.
Разложим выражение (9) на множители по формуле для разности n – х степеней. $X^{n/2}=(Y_1-2^{{n-2}/n}Y_2)(Y_1^{n-1}+...+2^{{{n-2}{n-1}}/n}Y_2^{n-1})$. (10)
Из ф. (10) следует, что разложение $X^{n/2}$ на целочисленные множители невозможно.
Допустим:
$Z^{n/2}+X^{n/2}=2^{n-1}Y_3^n$; (11)
$Z^{n/2}-X^{n/2}=2Y_4^n$. (12)
Из почленного сложения и вычитания ф. ф. (11) и (12), аналогичным вышеизложенным имеем:
$Z^{n/2}=2^{n-2}Y_3^n+Y_4^n$; (13)
$X^{n/2}=2^{n-2}Y_3^n-Y_4^n$. (14)
Разложим ф. (14) на множители.
$X^{n/2}=(2^{{n-2}/n}Y_3-Y_4 )(2^{{{n-2}{n-1}}/n}Y_3^{n-1}+...+Y_4^{n-1})$. (15)
Доказано, что корень k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k – ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень есть иррациональное число. Поэтому $2^{{n-2}/n}$ - число иррациональное, поскольку другим, меньшим $2^n$, может быть только 1.
Следовательно, $X^{n/2}$ невозможно разложить на целочисленные множители, что однозначно и не допускает другой трактовки, а значит $X^{n /2}$,и здесь же $X^n$, являются степенью иррационального числа, и уравнение $X^n+Y^n=Z^n$ при чётном n > 2 не имеет решения в целых положительных числах.
При этом особо нужно отметить, что для $2^{{n-2}/n}$ при нечётном n/2=2k+1, характерен следующий ряд показателей:
(n-2)/n 0/2; 4/6; 8/10; 12/14; 16/18; 20/22 … , где первый показатель - 0/2 соответствует уравнению $X^2+Y^2=Z^2$ при 2^(0/2)=√(2^0 )=√1=1, что делает возможным его целочисленные решения при невозможности таковых для остального ряда показателей.
Случай 2.
Z; X - нечётные, Y – чётное, n – нечётное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3531
Швеция
gefestos в сообщении #1238895 писал(а):
Преобразуем исходное уравнение:
$Z^n-X^n=Y^n$. (1)
Разложим на множители ф. (1).
$Z^{n/2}+X^{n/2}=Y^{n-m}$; (2)
$Z^{n/2}-X^{n/2}=Y^m$. (3)


Формулы 2,3 не доказаны.
предъявите доказательство или признайтесь, что доказать не можете.

Автор перетаскивает с форума на форум изложение своей безграмотной статьи, опубликованной за плату в помоечном издании. На вопросы не отвечает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 12:43 


15/04/17
5
Модератору. Прошу оградить меня от оскорблений мадам shwedka.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3531
Швеция
А формулы 2,3 по-прежнему не доказаны. ха-ха!

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 13:11 


15/04/17
5
shwedk(e)
А Вам, мадам, рекомендую ещё раз посмотреть приведённое здесь доказательство (Случай 1). Абзац после ф. (2) и ф. (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 13:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3531
Швеция
gefestos в сообщении #1238909 писал(а):
shwedk(e)
А Вам, мадам, рекомендую ещё раз посмотреть приведённое здесь доказательство (Случай 1). Абзац после ф. (2) и ф. (3).

Доказательство формул 2,3 по-прежнему отсутствует.
Обратите внимание на Правила
http://dxdy.ru/topic3476.html
п. 3.2, 3.3.

-- Пн авг 07, 2017 11:33:35 --

gefestos в сообщении #1238732 писал(а):
Разложим на множители ф.(6) и ф.(7).
$Z^3=(Y_2+2^{2/3}Y_1 )(Y_2^2-…+2^{4/3}Y_1^2 )$; (8)
$X^3=(Y_2-2^{2/3}Y_1)(Y_2^2+...+2^{4/3}Y_1^2)$ . (9)

Как видно из ф. ф. (8) и (9) $Z^3$ и $X^3$ нельзя разложить на целочисленные множители, а значит уравнение


Безграмотность. Из формул 8,9 ничего не видно. Возможность разложения на плохие множители не влечет невозможности разложения на хорошие.
Докажите, что 'видно' или признайтесь, что проврались.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 16:51 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
gefestos в сообщении #1238895 писал(а):
значит $X^{n /2}$,и здесь же $X^n$, являются степенью иррационального числа

Почему из иррациональности $X^{n /2}$ следует иррациональность $X^n$?
Но зато из иррациональности $X^{n /2}$ прекрасно следует иррациональность $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 17:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
kotenok gav в сообщении #1238940 писал(а):
Но зато из иррациональности $X^{n /2}$ прекрасно следует иррациональность $X$.
Не обязательно. Например, если $X^{3/2}=\sqrt{8}$, то $X=2$.

Но хорошо видно, что gefestos ничего внятного не скажет. "Доказательство" его на столь низком уровне, что по существу с ним и говорить не о чем. То ли дело был Виктор Сорокин… Он, конечно, постоянно делал ошибки, но до таких глупостей не опускался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение БТФ методом деления
Сообщение07.08.2017, 21:24 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8951
 !  Тема закрыта в связи с полной бесперспективностью

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group