Сколько простых в последовательности 1+n^2

[Volik]

Здравствуйте. Помогите разобраться. Я пытался аналитически выяснить, конечно или бесконечно множество простых чисел вида $ p=1+n^2 $. После очередной неудачи, я попросил Maple посчитать количество простых вблизи точек натурального ряда $ n= 10^t=[10^3,10^6,10^{12},10^{24},10^{46},10^{96},10^{192},10^{250}] $ (Это почти предел моего компьютера). Первый раз интервалы задавались как $ \Delta n= 100 [\ln(n)] $. Второй раз интервалы задавались как $ \Delta n= 100 [\ln(n)^{4/3]} $. Для первой серии количество простых для всех интервалов, кроме первого, лежат в интервале $ 195 \pm 15 $, а в первом их 140. Для второй серии каждый следующий интервал имеет количество простых больше предыдущего, начиная с 254 до 980, с замедляющимся ростом. Совместив, для наглядности, два графика, я сделал вывод что плотность простых чисел вида $ p=1+n^2 $ асимптотически стремится к виду $ \rho = k (\frac{\ln(n)}{n})^{1+\theta} $, $( 1/4>\theta>0 )$. Теперь мучаюсь вопросами: \\
1) Достаточно ли обоснован мой вывод?\\
2) Если да, то является ли это доказательством бесконечности простых чисел вида $ p=1+n^2 $? \\\
Заранее благодарен всем за конструктивное (или деструктивное но обоснованное) обсуждение.
График доступен по ссылке: https://drive.google.com/file/d/0B__GIZ ... sp=sharing

[grizzly]

Volik в сообщении #1238842 писал(а):

Я пытался аналитически выяснить, конечно или бесконечно множество простых чисел вида $ p=1+n^2 $

Это открытая проблема, сколько-то простыми рассуждениями её не решить. Вы можете погуглить об этом по ключевым словам "четвёртая проблема Ландау".

[reterty]

Уважаемый Grizzly! На обсуждение Volikoм выносится результат его численных расчетов -асимптотика. Правомочны ли выводы, сделанные им , исходя из анализа графика? Присмотритесь к нему

-- Вс авг 06, 2017 21:56:38 --

И это не результат голословных рассуждений -это конкретный компьютерный "счет" и аппроксимация

[Sonic86]

Volik в сообщении #1238842 писал(а):

плотность простых чисел вида $ p=1+n^2 $ асимптотически стремится к виду $ \rho = k (\frac{\ln(n)}{n})^{1+\theta} $, $( 1/4>\theta>0 )$.

Здесь правильная гипотетическая формула:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B3%D0%BE
https://en.wikipedia.org/wiki/Bateman%E ... conjecture

[atlakatl]

Volik в сообщении #1238842 писал(а):

1) Достаточно ли обоснован мой вывод?\\
2) Если да, то является ли это доказательством бесконечности простых чисел вида $ p=1+n^2 $? \\\

Сами ж знаете, что статистикой теоремы не доказываются. Иначе БТФ давно бы "доказали".

[reterty]

atlakatl в сообщении #1238853 писал(а):

Volik в сообщении #1238842 писал(а):

1) Достаточно ли обоснован мой вывод?\\
2) Если да, то является ли это доказательством бесконечности простых чисел вида $ p=1+n^2 $? \\\

Сами ж знаете, что статистикой теоремы не доказываются. Иначе БТФ давно бы "доказали".

Вопрос в другом. Однозначна ли аппроксимационная формула Буняковского или возможна также формула, предложенная Воликом

[vicvolf]

Посмотрите гипотезу Бейтмана-Хорна http://www.ams.org/journals/mcom/1962-1 ... 8632-7.pdf
Количество натуральных чисел, не превышающих $x$, при которых многочлен $f(n)=n^2+1$ принимает простые значения на основании гипотезы Бейтмана-Хорна находятся по формуле: $\pi(f,2,x) \sim 0,6864067...\cdot \int_{2}^{x} {dt/\ln(t)}$. Таким образом плотность таких чисел равна $P(f,2,x) \sim 0,6864067.../\ln(x)}$.

[grizzly]

reterty в сообщении #1238848 писал(а):

И это не результат голословных рассуждений -это конкретный компьютерный "счет" и аппроксимация

Ничего не могу сказать. Меня очень интересует поведение простых на тех промежутках, на которых нарушается вторая гипотеза Харди -- Литлвуда. Я считаю, что без понимания хотя бы этих промежутков сложно что-то аппроксимировать.

[Volik]

[/quote]
Сами ж знаете, что статистикой теоремы не доказываются. Иначе БТФ давно бы "доказали".[/quote]
По моему для наших знаний о распределении простых чисел, (а это статистика, асимптоты и другие приближения) может и доказываются. БТФ имеет вполне аналитический вид и о статистике нет смысла и говорить!

-- 06.08.2017, 20:46 --

Кажется обсуждение ушло от поставленных вопросов! Есть попытка описать среднюю локальную плотность простых чисел вида $p=1+n^2$ для больших $n$ по экспериментальным данным. Достаточно этих данных для сделанного вывода? Что и чем нужно проверять: Экспериментальные данные формулой, построенной на гипотезе, или наоборот?

[atlakatl]

Volik
Ваше $ \rho = k (\frac{\ln(n)}{n})^{1+\theta} $ почти повторяет Теорему о распределении простых чисел, - доказанную.
Если бесконечно множество всех простых, то можно предположить, что класс $n^2+1$ ничем среди них не выделяется и так же бесконечен.
Большего выудить из данного численного эксперимента не получится.

Volik в сообщении #1238861 писал(а):

Что и чем нужно проверять: Экспериментальные данные формулой, построенной на гипотезе, или наоборот?

Кеплер вывел свои Три закона из эксперимента. СТО тоже родилась из натурных опытов. И модель тёмной энергии. В математике же мы на Природу не завязаны. Строй любые гипотезы и проверяй их на компе. Но тут другая сторона медали: самое удачное соответствие всё равно надо доказать. - Пользуясь строгой логикой.
Ну и найденный контрпример к известной гипотезе сделает тоже вас знаменитым. Но и здесь поле пахано-перепахано.

[Volik]

Спасибо всем! Особенно Atlakatl. Он не стал подчеркивать описку в выражении для $\rho$ (Правильно $\rho= \frac{k}{\ln(n)^{1+\theta}}$). То есть, плотность данных простых пропорциональна плотности всех простых, но видимо, это еще не доказательство их бесконечности, хоть и трудно представить причину нарушения найденной закономерности. По поводу согласованности полученного результата упоминавшимся при обсуждении гипотез мне трудно разобраться! Буду благодарен, если кто нибудь или проверит это, или даст подсказку на достаточно элементарном уровне!

[Volik]

Дополнительный вопрос. Может кто нибудь сформулирует нормально ПЕРВУЮ гипотезу Харди — Литлвуда (ни Google ни DuckDuckGo не помогли!)

[grizzly]

Volik в сообщении #1239153 писал(а):

Может кто нибудь сформулирует нормально ПЕРВУЮ гипотезу Харди — Литлвуда

По-английски сможете прочитать? Или через переводчик -- с таким текстом переводчик должен справиться.

[Volik]

Спасибо, Grizzly! Не в полном объеме, но суть понял. А точно ли доказано (кажется Ричардсом?), что вторая гипотеза противоречит первой?

[grizzly]

Volik в сообщении #1239189 писал(а):

А точно ли доказано

Точно.