Что имеется ввиду?

[SNet]

Здравствуйте! Не понимаю часть доказательства теоремы, приведённой на картинке. Что означает выделенная фраза?


Сначала я думал, что предлагается рассмотреть подмножество мощностью $k$ и рассмотреть число способов образовать его из $n$ элементов, но быстро понял абсурдность данного варианта. В итоге я потерялся. Что же это означает?

[12d3]

Например, множество $\lbrace 1,2,3,4\rbrace$ можно образовать добавлением одного элемента к трехэлементному множеству четырьмя способами: $\lbrace 1,2,3\rbrace \cup \lbrace 4 \rbrace$, $\lbrace 1,2,4\rbrace \cup \lbrace 3 \rbrace$, $\lbrace 1,3,4\rbrace \cup \lbrace 2 \rbrace$, $\lbrace 2,3,4\rbrace \cup \lbrace 1 \rbrace$. Именно это имется в виду, когда говорят о присоединении каждого из элементов множества.