Инвариантная точка в треугольнике

[INGELRII]

Рассмотрим произвольный невырожденный треугольник на плоскости. Какую-либо из его вершин возьмем за начало координат, а содержащие ее стороны за векторы базиса $a,b$. Рассмотрим выражение вида $F(a,b) = \frac{P_1((a,a), (a,b), (b,b))}{Q_1((a,a), (a,b), (b,b))} \vec{a} + \frac{P_2((a,a), (a,b), (b,b))}{Q_2((a,a), (a,b), (b,b))} \vec{b}$, где $P,Q$ - некоторые полиномы (от скалярных произведений векторов $a,b$). Назовем это выражение инвариантом треугольника, если в треугольнике оно определяет одну и ту же точку независимо от того, какую именно из вершин мы взяли за начало координат и в каком именно порядке обозначили исходящие из нее стороны за $a,b$. Любую ли точку плоскости можно представить в виде такого инварианта? И если да, то как?

[INGELRII]

Хм, $28$ просмотров и ни одного ответа. Отпишитесь, пожалуйста: задача слишком сложная или слишком неинтересная?

[12d3]

Да несложная. Если от перемены мест $\vec{a}$ и $\vec{b}$ результат не зависит, то коэффициенты перед $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны. Значит, инвариантная точка лежит на медиане. А раз это верно для всех вершин, то единственная инвариантная точка - это центроид.
Извиняюсь, чушь написал. В полиномах же $(a,a)$ и $(b,b)$ тоже поменяются местами.

[INGELRII]

Ладно, дам уж пару подсказок (но по-хорошему, за такие спойлеры надо банить):

Во-первых, ответ зависит от того, является ли треугольник равносторонним, равнобедренным-неравносторонним, или вообще разносторонним.

Во-вторых, для случая разностороннего треугольника попытайтесь построить такую инвариантную вектор-функцию, которая при всех возможных вариантах выбора начала координат и нумерации сторон всегда указывала на вершину треугольника. На одну и ту же. Просто попробуйте, а вдруг да и получится?

[svv]

Возьмём разносторонний треугольник, выберем в нём самую красивую вершину. Длины прилежащих к ней сторон обозначим $p, q$, а противолежащей $r$. Эти обозначения намертво приколочены к треугольнику, в отличие от подвижных $\mathbf a, \mathbf b$.

Тогда на красивую вершину указывает вектор
$\mathbf F(\mathbf a, \mathbf b)=\frac{(b^2-p^2)(b^2-q^2)}{(r^2-p^2)(r^2-q^2)}\mathbf a+\frac{(a^2-p^2)(a^2-q^2)}{(r^2-p^2)(r^2-q^2)}\mathbf b$
Коэффициенты при $\mathbf a, \mathbf b$ — полиномы второй степени от тех скалярных произведений. Знаменатели тут просто константы, так что полиномы $Q_1, Q_2$ не нужны.

[INGELRII]

Ну вот. Осталось построить аналогичные функции для двух других вершин. Тогда любая точка плоскости будет выражаться некоторой линейной комбинацией от этих трех вершин. Соответственно, вектор-функция, равная линейной комбинации от функций, указующих на вершины, взятых с соответственными коэффициентами, будет указывать как раз на выбранную нами точку.

То есть для любой точки на плоскости такую инвариантную функцию можно найти. В равнобедренном треугольнике же любая инвариантная функция указывает только на точки, лежащие на оси симметрии. А в равностороннем вообще только на центр.

Придумал задачу, когда пытался таким образом выразить координаты точек пересечения медиан, биссектрис и прочего. Скажем, при нахождении центра описанной окружности знаменатели вылезают. А вообще да, можно обойтись и без них.

[svv]

У Вас для этого случая получилась аналогичная функция? Скорее всего, есть выбор. Наверное, можно использовать и $(\mathbf a, \mathbf b)$, не проверял.
Фактически, это была реализация булевской функции средствами обычной алгебры. Я выписал, при каких комбинациях аргументов должны были получаться нули и не-нули и подобрал полиномы попроще.
А задачка интересная. То, о чём Вы написали в последнем сообщении, конечно, уже легко додумывалось. Т.е. вопроса «Ну вот. Что дальше делать?» не возникло.

[INGELRII]

svv
Функция точно такая же. Скалярное произведение наверняка можно как-нибудь пристегнуть, потому что в разностороннем треугольнике оно при каждой вершине принимает уникальное значение, но я не сумел придумать, как именно.

А расписал решение я скорее ради гипотетических зрителей, которые сами могли бы не справиться. То, что они молчат и не дают никаких свидетельств своего существования, еще не доказывает, что их нет. ) Просмотры же есть.