Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел

[Ktina]

Дана бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел.
Докажите, что среди её членов можно найти 2017 последовательных членов геометрической прогрессии.

[arseniiv]

Рассмотрим последовательность вида $a(1 + bc)^m$, $m\geqslant0$. Это подпоследовательность арифметической прогрессии $a + bn$: например, по индукции $(a + bn)(1 + bc)^0 = a + bn$ и $(a + bn)(1 + bc) = a + b(ac + n + nbc)$. Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий (вложений — это потому что если $b=0$, все подпоследовательности совпадают). Скууучно.

[iou]

arseniiv в сообщении #1236676 писал(а):

Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий

И, казалось бы, как максимум счётного, поскольку выбор второго члена подпрогресии однозначно её задаст.

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1236676 писал(а):

...
Скууучно.

(Оффтоп)

А на "вееесело" у меня мозгов почему-то перестало хватать Мозги не продаются в супермаркете, какая досада!

[scwec]

Ktina. уже заканчивали умерили бы свою деятельность здесь. Ну нет уже никаких сил читать ваши произведения.

[Aritaborian]

Ну зачем так грубо. Понимаю, вы считаете эту деятельность профанацией искусства. А мне вот иногда помогает отвлечься, отдохнуть.

[scwec]

Слишком их много, "задач", да я бы и не против, но противно. "Каждый сверчок знай свой шесток".

[Andrey A]

Aritaborian в сообщении #1236731 писал(а):

... помогает отвлечься, отдохнуть.

Да. Особенно на фоне интеллектуальных бесед типа "Можно ли убить человека потоком частиц?" (надо побольше набрать частиц со смещенным центром тяжести!).

(Оффтоп)

scwec, напомню одну нерешенную задачу чтобы Вас развлечь: $p\neq q$ простые, $m=pq$, $S$ - сумма всех $n_i<m$ вз. простых с $m$, для которых разрешимо в натуральных числах уравнение $px+qy=n$, $s$ - то же, для которых ур-е неразрешимо. Требуется доказать: $S-s=\dfrac{(p^2-1)(q^2-1)}{6}$.

И еще вопрос. $S+s=pq\dfrac{(p-1)(q-1)}{2}=\dfrac{m\cdot \varphi (m)}{2}$ - факт известный. Не является ли вопрос задачи частным случаем более общего утверждения? Например, такого: $S_?-s_?=\dfrac{\sigma (m)\cdot \varphi (m)}{?}$. Мне казалось, хорошая задача - сложная задача, но два года назад энтузиазма не вызвало.

[svv]

scwec в сообщении #1236732 писал(а):

да я бы и не против, но противно

Что поделаешь, сейчас время такое, что всем противно. Скажите себе «надо!», преодолейте отвращение и решайте.

[arseniiv]

Меня же, смею признать, слегка порадовала инвариантность относительно систем счисления. (А вообще я и теория чисел — две вещи несовместные, так что в такие темы вообще обычно не попадаю.)

[Sonic86]

(о задачах)

Раз пошло такое обсуждение, то я вытащу исковерканную моей плохой памятью цитату Гаусса (нагуглить не могу ввиду исковерканности)
Он говорил примерно так, что можно легко напридумывать кучу очень сложных и изощренных задач, которые будет очень трудно решить, но если их решить, то это не будет иметь практически никакой пользы.
Я ничего в целом против не имею, но мне хотелось бы видеть меньше таких задач (не конкретно этой, а вообще). А всевозможные игрища с цифрами, страшные уравнения в простых числах и т.п. в подавляющем числе случаев - это похоже из той серии.
Я готов получить предупреждение за обсуждение участника, хотя я скорее хотел обсудить задачи, предлагаемые участником.