Макрообъект с точностью до микрочастиц

[Formalizator]

Munin в сообщении #1217914 писал(а):

Надо переходить к полевому и квантовому описанию. Тогда 4-вектор энергии-импульса для области всё равно есть, но как квантовая величина - с неопределённостью.

Да, можно ввести квантовые наблюдаемые - операторы 4-импульса $\hat p^\mu(\Omega)$ с компонентами $\hat p_t(\Omega)$, $\hat p_x(\Omega)$, $\hat p_y(\Omega)$, $\hat p_z(\Omega)$ ($\Omega$ - область трёхмерного пространства). Возникает вопрос, каковы коммутационные соотношения для этих операторов (в том числе в случае различных $\Omega$).

Можно использовать картину Шрёдингера - в этом случае операторы наблюдаемых не зависят от времени, а состояние зависит от времени, а можно использовать картину Гейзенберга - в этом случае состояние не зависит от времени, а операторы наблюдаемых зависят от времени.

Будем использовать картину Гейзенберга. Тогда состоянию можно сопоставить не зависящий от времени оператор $\hat \rho$ (если не принимать во внимание квантовые измерения).

Области $\Omega$ при этом будут эквивалентны только в том случае, если они совпадают в пространстве Минковского.

Очевидно,

$$\hat p^\mu(\Omega) = \int\limits_\Omega \hat T^{\mu \nu} \, d V_\nu$$

где $\hat T^{\mu \nu}$ - операторнозначное поле тензора энергии-импульса.

Можно получить среднее значение 4-импульса для заданной области $\Omega$: $\langle p^\mu \rangle = \operatorname{tr} (\hat \rho \, \hat p^\mu)$
и вероятностное распределение для величины $p \equiv p^\mu n_\mu$: $\rho_p(p) = \operatorname{tr} (\hat \rho \, \delta(\hat p^\mu n_\mu - p \hat I))$
($\hat I$ - единичный оператор, $n_\mu$ - некоторый 4-вектор)

Далее возникает вопрос, каковы свойства у вероятностных распределений $\rho_p(p)$ в зависимости от $n_\mu$ и $\Omega$. В частности, допустим, что $\Omega$ имеет форму шара; как в этом случае зависят дисперсии $p_t$ и $p_x$ от диаметра этого шара (и его положения относительно структурных элементов вещества - узлов кристаллической решётки или средних положений атомных ядер в стекле; также интересны случаи жидкостей и газов; диаметр области меняется в пределах по крайней мере от порядка $10^{-14}$ м до порядка $10^{-1}$ м).

[Munin]

Formalizator в сообщении #1234282 писал(а):

Да, можно ввести квантовые наблюдаемые - операторы 4-импульса $\hat p^\mu(\Omega)$ с компонентами $\hat p_t(\Omega)$, $\hat p_x(\Omega)$, $\hat p_y(\Omega)$, $\hat p_z(\Omega)$ ($\Omega$ - область трёхмерного пространства). Возникает вопрос, каковы коммутационные соотношения для этих операторов (в том числе в случае различных $\Omega$).

Ну и? Вы этот вопрос задаёте, но не решаете. Даже не начинаете двигаться в сторону решения (кроме единственной выписанной формулы).

[Formalizator]

Вот что получилось:

$$u_\nu [\,\hat p^\mu(\Omega) + \hat p^\mu(\neg\,\Omega), \, \hat p^\nu(\Omega) + \hat p^\nu(\neg\,\Omega)\,] = 0$$

$$u_\nu [\,\hat p^\mu(\Omega), \, \hat p^\nu(\Omega) + \hat p^\nu(\neg\,\Omega)\,] = i \hbar \, u_\nu \partial^\nu \hat p^\mu(\Omega)$$

$\neg\,\Omega$ - дополнение $\Omega$ до трёхмерной пространственноподобной гиперплоскости; $u_\nu$ - константный времениподобный 4-вектор, перпендикулярный этой гиперплоскости.

Следствие второго уравнения:

$$u_\mu [\,\hat p^\mu(\Omega), \, \hat p^\mu(\neg\,\Omega)\,] = i \hbar \, u_\nu \partial^\nu \hat p^\mu(\Omega)$$

Очевидно, $[\,\hat p^\mu(\Omega_1), \, \hat p^\nu(\Omega_2)\,]$ при различных $\Omega_1$ и $\Omega_2$ может быть ненулевым.

Может ли $[\,\hat p^\mu(\Omega), \, \hat p^\nu(\Omega)\,]$ быть ненулевым?

Что можно сказать о зависимости дисперсии $\hat p^\mu n_\nu$ от диаметра области $\Omega$, содержимого этой области и от 4-вектора $n_\nu$?

[Formalizator]

$\hat p^\mu n_\nu$ - подразумевается $\hat p^\mu(\Omega) n_\nu$

[Formalizator]

По-видимому, дисперсия $\hat p^\mu(\Omega) n_\mu$ для областей $\Omega$ с достаточно гладкими границами (радиус кривизны границы и размеры области много больше атомных радиусов) в однородном конденсированном веществе с хорошей точностью пропорциональна площади поверхности $\Omega$. Остаются, например, такие вопросы: как оценить этот коэффициент пропорциональности; какова зависимость этого коэффициента от химического состава и строения вещества, от $n_\mu$ и 4-скорости вещества $u^\mu$, от температуры; что в случае газообразных веществ; что в случае электромагнитного поля в вакууме; что в случае малых масштабов - сравнимых с межатомными расстояниями, субатомных, сравнимых с размерами атомных ядер; каким образом экспериментально определить вероятностное распределение $\hat p^\mu(\Omega) n_\mu$ (и возможно ли это?); каким образом теоретически вывести процедуру вычисления этого распределения.

[madschumacher]

Совершенно непонятно, зачем Вы приплели пространство Минковского (и квант.мех. в нём) для описания химии...

(disclaimer)

дальше уравнения Дирака ничего не знаю...

[Formalizator]

madschumacher в сообщении #1235213 писал(а):

Совершенно непонятно, зачем Вы приплели пространство Минковского (и квант.мех. в нём) для описания химии

Не только химии. Можно ли объяснить спонтанное испускание электромагнитного излучения без релятивизма?

Имеется квантовополевое описание материи на микроуровне (там как раз пространство Минковского используется, если гравитацию не учитывать). А на макроуровне вещество можно рассматривать с использованием механики сплошных сред. Хотелось бы навести мост между этими рассмотрениями.

[Cos(x-pi/2)]

Formalizator
Не очень понятно, какой Вы ищете

Formalizator в сообщении #1235787 писал(а):

мост между этими рассмотрениями.

Если речь не о "коллапсе волновой функции" или, что то же самое, не о "редукции волнового пакета" и т. п. (подобная редукция не описывается детально ни в КМ ни в классической физике), то прочтите, если ещё не читали, введение (да и остальные разделы, если станет интересно) в нобелевской лекции Лафлина. Там высказана существенная точка зрения на взаимоотношение между микро- и макро-описаниями.

[warlock66613]

Прочитал лекцию Лафлина, и хочу сказать, что по-моему читать введение к этой статье - занятие вредное, ибо может создать нехорошие иллюзии (которые не возникают, если прочитать статью целиком). Неопытному читателю может показаться, что всю статью целиком понять сложно, а введение - просто, тогда как на самом деле всё наоборот.

[madschumacher]

Formalizator в сообщении #1235787 писал(а):

Можно ли объяснить спонтанное испускание электромагнитного излучения без релятивизма?

Вы же сами поняли, как это делается.
У Вас общее состояние: квантовая частица + поле (квантованное, или нет, не очень принципиально). Ну из этого всего лишь поле должно всегда быть "релятивистским", и такое оно и есть. А нерелятивистский объект считать более сложной теорией -- это извращение.

[Formalizator]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1235842 писал(а):

Formalizator
Не очень понятно, какой Вы ищете

Formalizator в сообщении #1235787 писал(а):

мост между этими рассмотрениями.

Распределение массы можно рассматривать с пространственным разрешением $10^{-4}~\text{м}$, тогда получается функция пространственной плотности массы $\rho(\mathbf r)$. А по мере повышения пространственного разрешения - до $10^{-15}~\text{м}$ - будет ли корректно говорить о функции $\rho(\mathbf r)$ ? Какая форма описания распределения массы пригодна и на микроскопических, и на макроскопических масштабах? (Вот такая единая форма описания и будет "мостом" между микромиром и макромиром; если имеется подробное, микроскопическое описание, то из него можно получить менее подробное, макроскопическое).

Про точку зрения Лафлина: образец конденсированного вещества и набор изолированных атомов - совершенно разные вещи. Допустим, формальный вывод сверхтекучести из законов взаимодействий частиц затруднителен или неосуществим - но должно же существовать детальное описание образца, обладающего сверхтекучестью. Из детального описания сверхтекучесть никуда не денется, напротив, она будет объяснена.

warlock66613 в сообщении #1235902 писал(а):

нехорошие иллюзии

Какие именно?

madschumacher
Релятивистское рассмотрение (с использованием 4-тензоров) удобно, компактно.

Munin в сообщении #1234296 писал(а):

Ну и? Вы этот вопрос задаёте, но не решаете. Даже не начинаете двигаться в сторону решения (кроме единственной выписанной формулы).

Может быть, использовать выражение оператора тензора энергии-импульса через $\psi$-операторы?

[warlock66613]

Formalizator в сообщении #1236376 писал(а):

Какие именно?

Что автор - серьёзный физик - считает, что существуют явления, которые даже в принципе невозможно вывести из "теории всего". Из дальнейшей части статьи, где разбираются примеры, становится ясно, что автор говорит именно про эмерджентность, а не про принципиальную несводимость (в частности, там можно найти важные оговорки про "термодинамический предел").

[Munin]

Formalizator в сообщении #1236376 писал(а):

Из детального описания сверхтекучесть никуда не денется, напротив, она будет объяснена.

Мнения дилетантов - такие мнения...

[madschumacher]

Formalizator в сообщении #1236376 писал(а):

Релятивистское рассмотрение (с использованием 4-тензоров) удобно, компактно.

Удобство от их использования для "химических" объектов (т.е. с размерами порядка 10 мкм -- 0.001 Å и энергиями порядка 0.1 -- 5000 K) сравнимо с использованием 10-ти метрового флагштока для ковыряния в зубах.

[Formalizator]

Munin в сообщении #1185814 писал(а):

Formalizator в сообщении #1185798 писал(а):

Имеется, например, кристалл хлорида натрия (размером около 1 мм). Можно ли построить математический объект, который изображал бы его с точностью до атомных ядер и электронов?

Можно. В смысле описать и доказать существование (даже конструктивно описать). Вот только рассчитать с его помощью ничего будет нельзя.

Где можно найти конструктивное описание этого математического объекта? Он даёт образ конкретной истории макрообъекта или только образ макрообъекта в определённый момент времени? Какой математический объект даёт образ конкретной истории макрообъекта?

Munin в сообщении #1185828 писал(а):

Ну и берите волновую функцию всех кварков. Кто запрещает-то?

А что с лептонами и фундаментальными бозонами? Почему "волновая функция", разве квантовое состояние чистое? Макрообъект - открытая система; если ему сопоставить квантовое состояние, оно не обязано быть чистым; оно может быть смешанным.

Квантовое состояние - объект, дающий вероятностные распределения наблюдаемых. Возможны квантовые состояния, дающие макроскопически большие дисперсии макропараметров (пример макропараметра - масса заданной области размером порядка $10^{-4}~\text{м}$ в определённый момент времени) - такие состояния не подходят для детального описания конкретной истории.

Возможно, в качестве детального описания конкретной истории можно использовать поле $\Xi(x,y,z,t)$ в пространстве-времени (значения этого поля - сложные математические объекты некоторого класса). Значения макропараметров будут значениями некоторых функционалов поля $\Xi$.

Ещё было бы хорошо получить из детального описания материи поле температуры в пространстве-времени.