Отрицание утверждения с O-большим

[vicvolf]

В эквивалентной формулировке ГР и гипотезах берутся натуральные числа, начиная с 2, так как рассматриваются только натуральные числа, имеющие простые делители без квадратов. Хотя в примере я 4 учел, т.к. $\mu(4)=0$ и ничего не меняет. Подробнее можете посмотреть в книге Джона Дербишира "Простая одержимость" стр. 383.

[Xaositect]

Там начинается с единицы. Цитата из Дербишира, раздел 15.V:

Дж. Дербишир Простая одержимость. пер. А. Семихатова. писал(а):

B истории Гипотезы Римана наряду с самой функцией $\mu(n)$ не меньшую роль играет ее нарастающее значение, т. е. результат сложения $\mu(1) + \mu(2) + \mu(3) + \dots + \mu(k)$ для некоторого числа $k$. Так определяется "функция Мертенса" $M(k)$. Ее первые 10 значений (т. е. значения при $k = 1, 2, 3, \dots, 10$) равны $1, 0, -1, -1, -2, -1, -2, -2, -2, -1$.

[vicvolf]

Смотрите дальше. Значение 1 и квадраты в гипотезах исключены. Я уже писал по каким причинам.

[Xaositect]

vicvolf в сообщении #1235875 писал(а):

Смотрите дальше. Значение 1 и квадраты в гипотезах исключены. Я уже писал по каким причинам.

В какой главе и меняется определение $M$? Не нашел нового определения, везде используется та же самая функция $M$, что определена в 15.V.

-- Вт июл 25, 2017 16:17:54 --

Это, впрочем неважно. Везде, где я смотрю информацию по гипотезе Мертенса, функция $M$ определена как сумма от единицы.

[vicvolf]

Я не говорю об определении функции Мертенса. Я говорю, что в эквивалентной формулировке ГР она берется не по всем значениям. Посмотрите стр. 383, на которую я ссылался с самого начала.

[Xaositect]

vicvolf в сообщении #1235912 писал(а):

Я не говорю об определении функции Мертенса. Я говорю, что в эквивалентной формулировке ГР она берется не по всем значениям. Посмотрите стр. 383, на которую я ссылался с самого начала.

Никакие рассуждения там никак не изменится по сути, если мы начнем с 1 и будем считать 1 "орлом". Совершенно не понимаю, зачем в этом месте Дербишир решил отклониться от определения функции Мертенса и начать с 2.
В любом случае, там говорится, что неравенство должно выполняться только при стремлении $N$ к бесконечности, то есть в данном случае начиная с некоторого $N_0$. На маленьких $N$ случайные отклонения могут быть большими, это неважно.

[vicvolf]

Xaositect в сообщении #1235915 писал(а):

Совершенно не понимаю, зачем в этом месте Дербишир решил отклониться от определения функции Мертенса и начать с 2.

Потому, что смысл эквивалентной формулировки ГР в том, что количество натуральных чисел, имеющих нечетное число простых делителей, не считая квадратов, примерно равно количеству натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей. А "1" не имеет вообще простых делителей и выпадает из контекста.

Цитата:

В любом случае, там говорится, что неравенство должно выполняться только при стремлении $N$ к бесконечности, то есть в данном случае начиная с некоторого $N_0$. На маленьких $N$ случайные отклонения могут быть большими, это неважно.

Число "5" я выбрал не случайным перебором. Можно показать, что в этой точке самое большое значение функции $|M(n)|-n^{1/2}$ при $n>1$, где $M(n)=\sum_{i=2}^n {\mu(i)}$.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1235929 писал(а):

Число "5" я выбрал не случайным перебором. Можно показать, что в этой точке самое большое значение функции $|M(n)|-n^{1/2}$ при $n>1$, где $M(n)=\sum_{i=2}^n {\mu(i)}$.

В упомянутой Вами ранее работе 1985 г. было доказано, в частности, что эта разность не ограничена ни сверху, ни снизу (независимо от того, с чего начинать эту сумму и чему равно $M(2)$).

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1235965 писал(а):

vicvolf в сообщении #1235929 писал(а):

Число "5" я выбрал не случайным перебором. Можно показать, что в этой точке самое большое значение функции $|M(n)|-n^{1/2}$ при $n>1$, где $M(n)=\sum_{i=2}^n {\mu(i)}$.

В упомянутой Вами ранее работе 1985 г. было доказано, в частности, что эта разность не ограничена ни сверху, ни снизу (независимо от того, с чего начинать эту сумму и чему равно $M(2)$).

Да, надо говорить не о разности , а об отношении: $|M(n)|/n^{1/2}$. В указанной работе найдена точка, где $|M(n)|/n^{1/2}=1,061545...$. Если $M(n)=\sum_{i=2}^n {\mu(i)$, то при $n=5$ значение $|M(n)|/n^{1/2}=1,341640...$. То что $|M(n)|/n^{1/2}$ не ограничено ни сверху, ни снизу, пока не доказано. Это следует из предположения справедливости ГР, хотя ей не эквивалентно.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236051 писал(а):

В указанной работе найдена точка, где $|M(n)|/n^{1/2}=1,061545...$

vicvolf в сообщении #1236051 писал(а):

Это следует из предположения справедливости ГР, хотя ей не эквивалентно.

Закончится когда-нибудь этот цирк или нет? Простите, но это уже выходит за всякие рамки. Вот Вам ссылка на статью. Разберитесь, пожалуйста, что было найдено в той работе и из каких предположений можно вывести ГР. Там очень простой английский и очень подробно и понятно объясняются основные идеи самой работы и истории вопроса (я не говорю о доказательствах).

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1236052 писал(а):

vicvolf в сообщении #1236051 писал(а):

В указанной работе найдена точка, где $|M(n)|/n^{1/2}=1,061545...$

Закончится когда-нибудь этот цирк или нет? Простите, но это уже выходит за всякие рамки.

Дочитайте работу до 23 страницы Таблицы 3 (15 строки) и вы увидите это значение. Я не узнаю Вас, что за менторский тон! Кстати мы находимся в разделе, где помогают разобраться.

grizzly в сообщении #1236052 писал(а):

Разберитесь, пожалуйста, что было найдено в той работе и из каких предположений можно вывести ГР.

Естественно гипотеза Мертенса более сильная, чем эквивалентная формулировка ГР, но я об этом не говорил. Читайте внимательно!

[Cash]

vicvolf в сообщении #1236051 писал(а):

То что $|M(n)|/n^{1/2}$ не ограничено ни сверху, ни снизу, пока не доказано. Это следует из предположения справедливости ГР, хотя ей не эквивалентно.

vicvolf в сообщении #1236054 писал(а):

Естественно гипотеза Мертенса более сильная, чем эквивалентная формулировка ГР, но я об этом не говорил. Читайте внимательно!

С точностью до наоборот.

Стр.5 писал(а):

The above proof that the Mertens conjecture implies both the Riemann hypothesis and the simplicity of the zeros of the zeta function does not depend in any way on the constant in the conjecture;[...]
it has been shown [18, 44] that the Riemann hypothesis and the simplicity of the zeros, as well as some other results, follow from any one of the following three weaker hypotheses:
$\lim\limits_{x \to \infty} \sup M(x)x^{-\frac12} \leqslant A$
...
The Riemann hypothesis and the simplicity of the zeros of the zeta function are quite widely expected to hold, so the fact that they
follow from the Mertens conjecture did not cast any special doubt on the latter.

[grizzly]

Я Вам повторю то, что уже несколько раз Вам объясняли в этой теме: в работе среди прочего показано, что какое бы большое $n_0$ мы не взяли, найдётся $n>n_0$, такое, что $M(n)/n^{1/2}>1.06$. Понимаете? показано, что найдётся счётное число таких $n$; и в свете этого результата никого не интересует Ваше $n=5$, независимо от фокусов его интерпретации -- конечное число точек никак не влияет на ГР. И если бы удалось доказать, что только в конечном числе точек отношение больше 1 млрд, ГР была бы доказана.

-- 26.07.2017, 17:30 --

vicvolf в сообщении #1236054 писал(а):

Я не узнаю Вас, что за менторский тон! Кстати мы находимся в разделе, где помогают разобраться.

Вы правы, извините. Но разобраться Вы не пытаетесь. Вы смогли уже нескольких ЗУ взять измором. И что? неужели у Вас не закралось ни капли сомнения?

[vicvolf]

Cash Когдя я пишу, что гипотеза Мертенса более сильная, то это значит, что если бы она была справедлива, то из нее вытекала бы ГР.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1236054 писал(а):

Дочитайте работу до 23 страницы Таблицы 3 (15 строки) и вы увидите это значение.

Я не знаю, что Вы увидели между строк в этой таблице, но это точно не имеет отношения к:

vicvolf в сообщении #1236051 писал(а):

В указанной работе найдена точка, где $|M(n)|/n^{1/2}=1,061545...$

В указанной работе сказано, что пример точки с отношением большим чем 1,06 вряд ли существует для $n<10^{20}$ или даже для $n<10^{30}$. Современные технологии ещё не способны проверить такие диапазоны.