Плотность данных в матрице для SVD

[qwarck]

Допустим у меня матрица 30 x 30. 200 ячеек заполнено, остальные пустые. Будет ли иметь эта матрица единственное сингулярное разложение? Точнее, от чего зависит существование единственного сингулярного разложения матрицы?

[svv]

$A=U\Sigma V^*$, в вещественном случае можно написать $A=U\Sigma V^T$.

Сами сингулярные числа $\sigma_i$ определяются единственным образом. Левые и правые сингулярные векторы $u_i, v_i$, составляющие матрицы $U$ и $V$, определяются не вполне и не всегда однозначно. Мне известны такие источники неоднозначности:
1) Можно соответствующие друг другу векторы $u_i$ и $v_i$ умножить на комплексное число с единичным модулем. В вещественном случае — умножить на $-1$.
2) Если в $\Sigma$ на диагонали одно и то же сингулярное число встречается несколько раз, то свобода выбора сингулярных векторов, соответствующих этому числу, ещё больше.
3) Если матрица $A$ неквадратная, тогда в одной из матриц $U$ или $V$ приходится «лишние» столбцы заполнять «чем попало» (с сохранением унитарности/ортогональности матрицы, конечно), и здесь тоже свобода выбора. К Вам это не относится.

То есть — зависит от матрицы. Если в матрице $30\times 30$ ненулевых элементов не $200$, а $20$, однозначности сингулярных векторов точно не будет. Если матрица $30\times 30$ единичная, то будет однозначность (с точностью до п.1). Заполните всю матрицу единицами — опять однозначности не будет.