Максимумы и минимумы ФНП. Не сходятся ответы 2мя способами

[ustinov]

Здравствуйте! Возникла странная ситуация. Я решил 2-мя способами, но ответы не сходятся, не могу найти причину. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Функция $f(x,y)=x^3y^5$. Нужно найти максимумы и минимумы функции при ограничениях $x>0, y>0$ и $3x+5y=8$

Первый способ. Выразим $x=\dfrac{8-5y}{3}$, подставим в исходную функцию. Будем ее рассматривать как функцию одной переменной. Получим, что в точке $(1;1)$ есть максимум. Внутри области нет экстремумов, потому как частные производные там не обращаются в ноль.

Второй способ. Составляем функцию Лагранжа. $L=x^3y^5+\lambda (3x+5y-8)$

Частные производные в точке $(1;1)$ обращаются в ноль, но проблема в другом. Я получил Гессиан в этой точке.

Он выглядит так:

$H=\begin{pmatrix} 6 & 15 \\ 15&20 \\ \end{pmatrix}$

Получается, что Гессиан не является отрицательно определенным, потому в заданной точке нет максимума. Он также не является положительно определенным, потому в заданной точке нет минимума.

И вообще, я так понимаю из-за строгих знаков неравенств минимума нет вовсе. Но как это аргументированно объяснить -- не понимаю

-- 22.07.2017, 00:23 --

Если нужно подробнее что-то написать --- могу сделать. На вольфрамальфа проверил. Верен результат первым способом. Но вот почему-то Лагранж подводит, это как-то странно. http://www.wolframalpha.com/input/?i=extrema+x%5E3y%5E5,+x>0,+y>0,+3x%2B5y%3D8

[lel0lel]

Гессиан надо условный записывать, а вы, по всей видимости, для исходной функции записали. Глобального экстремума может и не быть, тогда как условный существует.

[ustinov]

Спасибо. Гессиан для исходной функции совпадет с гессиан для функции лагранжа в ввиду линейности ограничения. Вторая Производная Линейной функции есть ноль. Вольфрам подтверждает существование глобального максимума при заданных условиях.

[Евгений Машеров]

Функция Лагранжа здесь будет от трёх, а не от двух переменных...

[ustinov]

Спасибо! Все равно не очень понимаю. Третья переменная это множитель Лагранжа лямбда? Если да, то и Гессиан содержит эти три переменные?

-- 22.07.2017, 09:29 --

Даже Если так, то получатся знаки угловых миноров +-+ или +--, оба случая нам не подходят ведь, потому как не будет отрицательно определенности квадратичной формы

[Someone]

Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. "Наука", Москва, 1969.

Смотрите пункт 213. Гессиан функции трёх переменных считать не надо.

[ustinov]

Someone в сообщении #1235253 писал(а):

Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I. "Наука", Москва, 1969.

Смотрите пункт 213. Гессиан функции трёх переменных считать не надо.

Спасибо! Но точно ли 213? Это именно первый том, издание 1968 года

[Someone]

Это точно трёхтомник? Похоже на какой-то сокращённый вариант.

Уточню "адрес":
Глава шестая. Функциональные определители: их приложения.
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функций.
211. Относительные экстремумы.
212. Метод неопределённых множителей Лагранжа.
213. Достаточные для относительного экстремума условия.

[Евгений Машеров]

Someone в сообщении #1235264 писал(а):

Это точно трёхтомник? Похоже на какой-то сокращённый вариант.

Похоже на "Основы математического анализа". Тоже Фихтенгольца.

[ustinov]

Да, действительно -- это основы, спасибо. Я нашел нужную книжку.

А что там именно нужно прочитать, что я неверно понимаю, подскажите, пожалуйста!

-- 22.07.2017, 16:17 --

Нашел, почитал. Вы хотите, чтобы я через второй дифференциал рассматривал? Я так пробовал, можно попробовать, конечно, выделить полный квадрат и понять, но вот почему через Гессиан не выходит?
По поводу определенности знака квадратичной формы в этом пункте ровно то и говорится, о чем я писал выше. А именно это:

[Someone]

ustinov в сообщении #1235282 писал(а):

Вы хотите, чтобы я через второй дифференциал рассматривал?

Ага.

ustinov в сообщении #1235282 писал(а):

Я так пробовал, можно попробовать, конечно, выделить полный квадрат

Там, по-моему, что-то другое сказано. И ещё примеры всякие в следующем пункте. Посмотрите пример 1), начиная со слов "Применяя к той же задаче метод Лагранжа…"
Что касается выделения полного квадрата, то там же одна независимая переменная…

[ustinov]

Спасибо, сделаю через второй дифференциал, как там было в примере Фихтенгольца.

Функция $f(x,y)=x^3y^5$. Нужно найти максимумы и минимумы функции при ограничениях $x>0, y>0$ и $3x+5y=8$

$df=3x^2y^5dx+5y^4x^3dy=0$, дифференцируя ограничение, получаем $3dx+5dy=0$ или $dy=-0,6dx$

Тогда $3x^2y^5-3y^4x^3=0$ или $x^2y^4(y-x)=0$, значит $x=y$, с учетом $3x+5y=8$ имеем $x=y=1$

$d^2f=6xy^5dx^2+30y^4x^2dxdy+20x^3y^3dy^2=6xy^5dx^2-18y^4x^2dx^2+7,2x^3y^3dx^2$

$d^2f=(6xy^5-18y^4x^2+7,2x^3y^3)dx^2=6x(y^5-3y^4x+1,6x^2y^3)dx^2$.

Дальше просто вычислим дифференциал в точке $x=y=1$, будет $d^2f=6(1-3+1,6)dx^2=-0,4dx^2$.

Значит будет максимум в точке $x=y=1$, но по поводу квадратичной формы -- я все равно не понял -- почему там знаки миноров угловых +-, а в итоге максимум?

[Someone]

ustinov в сообщении #1235328 писал(а):

Спасибо, сделаю через второй дифференциал, как там было в примере Фихтенгольца.

Someone в сообщении #1235293 писал(а):

пример 1), начиная со слов "Применяя к той же задаче метод Лагранжа…"

Вы ведь о методе Лагранжа спрашивали. И у Фихтенгольца я что-то не вижу того, что Вы написали. Вы не смешали в кучу два разных способа решения? У Фихтенгольца до процитированных мной слов рассматривается один способ решения, а после них — другой.

ustinov в сообщении #1235328 писал(а):

по поводу квадратичной формы -- я все равно не понял -- почему там знаки миноров угловых +-, а в итоге максимум?

Какой квадратичной формы? И какое отношение она имеет к условному экстремуму?