Вопрос по теории меры

[Профессор Снэйп]

Верно ли, что для каждого измеримого по Лебегу множества $X$ существует измеримое по Борелю множество $Y$, такое что $X \vartriangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ есть подмножество некоторого множества, имеющего борелевскую меру $0$?

Добавлено спустя 15 минут 3 секунды:

Или, как частный случай: верно ли, что каждое множество лебеговской меры $0$ является подмножеством множества борелевской меры $0$?

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Верно ли, что для каждого измеримого по Лебегу множества $X$ существует измеримое по Борелю множество $Y$, такое что $X \vartriangle Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ есть подмножество некоторого множества, имеющего борелевскую меру $0$?

Добавлено спустя 15 минут 3 секунды:

Или, как частный случай: верно ли, что каждое множество лебеговской меры $0$ является подмножеством множества борелевской меры $0$?

http://en.wikipedia.org/wiki/Regularity ... ue_measure
Док-во см. Смирнов курс высш. мат. том 5

[Профессор Снэйп]

zoo писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Regularity_theorem_for_Lebesgue_measure
Док-во см. Смирнов курс высш. мат. том 5

Прошёл по ссылке, но прямого ответа на свой вопрос там так и не нашёл.

То, что там заясняют про симметрическую разность --- это сведение первой задаче ко второй. А про вторую ничего толком не сказано, поскольку "null set", если я правильно понял, это множество, лебеговская мера которого равна нулю.

Хотя вот из первой части статьи... Там написано, что для любого множества $X$ лебеговской меры $0$ и любого $\varepsilon > 0$ существует открытое $U_\varepsilon \supset X$, такое что $\mu(U_\varepsilon \setminus X) < \varepsilon$. Если мы пересечём все $U_{1/n}$ для натуральных $n$, то получим множество нулевой меры, расширяющее $X$. Открытые множества вроде бы борелевские, пересечение счётного числа борелевских --- борелевское, так что ответ на второй вопрос получается положительным.

Прав ли я? Просто скажите "да" или "нет", не отсылайте к учебникам, за которыми нужно на следующей неделе специально ехать в библиотеку.

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

не отсылайте к учебникам, за которыми нужно на следующей неделе специально ехать в библиотеку.

А я и не знал, что у Вас там в Сибири интернет только в библиотеках
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2+%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81+%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B5%D0%B9+%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8&network=1

[zoo]

ответ на оба вопроса положительный

[Профессор Снэйп]

Brukvalub писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

не отсылайте к учебникам, за которыми нужно на следующей неделе специально ехать в библиотеку.

А я и не знал, что у Вас там в Сибири интернет только в библиотеках
http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B2+%D0%9A%D1%83%D1%80%D1%81+%D0%B2%D1%8B%D1%81%D1%88%D0%B5%D0%B9+%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B8&network=1

У нас тут в Сибири по Вашей ссылке открывается список с другими ссылками, которые, в свою очередь, вообще не открываются. В отличие от библиотеки, которая открывается в понедельник.

[Brukvalub]

Вот это тоже в Сибири не открывается?
http://narod.ru/disk/349174000/Smirnov.Mathematics.zip.html

[zoo]

бррр

Цитирую текст из Смирнова.
Теорема. Для того чтобы $E$ было измеримо по Лебегу необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись множества $F$ и $O$ замкнутое и открытое соответственно, такие, что $F\subseteq E\subseteq O$ и $\mu(O\backslash F)<\varepsilon.$
я так понимаю, что все отюда следует, разве нет?

[Dan B-Yallay]

zoo писал(а):

бррр

Цитирую текст из Смирнова.
Теорема. Для того чтобы $E$ было измеримо по Лебегу необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись множества $F$ и $O$ замкнутое и открытое соответственно, такие, что $F\subseteq E\subseteq O$ и $\mu(O\backslash F)<\varepsilon.$
я так понимаю, что все отюда следует, разве нет?

Я так понимаю, что $\mu(O\backslash F)<\varepsilon$ - это Лебеговская мера, а Профессора интересует чтобы именно Борелевская мера была нулевой.
Или в данном контексте это равнозначно?

[zoo]

Dan B-Yallay писал(а):

zoo писал(а):

бррр

Цитирую текст из Смирнова.
Теорема. Для того чтобы $E$ было измеримо по Лебегу необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon>0$ нашлись множества $F$ и $O$ замкнутое и открытое соответственно, такие, что $F\subseteq E\subseteq O$ и $\mu(O\backslash F)<\varepsilon.$
я так понимаю, что все отюда следует, разве нет?

Я так понимаю, что $\mu(O\backslash F)<\varepsilon$ - это Лебеговская мера, а Профессора интересует чтобы именно Борелевская мера была нулевой.
Или в данном контексте это равнозначно?

да это лебеговская мера. значит лебеговская мера множества $X\Delta Y$ равна нулю. И Профессор уже доказал, что множество лебеговой меры нуль содержится в множестве борелевской меры нуль. Вроде все