Абсолютно неупругий удар

[fred1996]

Данная задача появилась в опросе topic119622.html.
Думаю, она достойна все же быть выделенной как отдельная олимпиадная задача.
Итак, на гладком столе лежал две шайбы массой $m$, связанные абсолютно нерастяжимой невесомой ниткой длины $2L$. В начальном положении нить натянута.
К этой конструкции перпендикулярно нитке прямо по центру двигается шайба массы $2m$ со скоростью $2v$. Когда шайба касается нитки, происходит ее временое слипание с ниткой так, что дальнейшее поведение конструкции можно считать непрерывным абсолютно неупругим ударом, который растянут во времени. В конце концов две шайбы, связанные нитками столкнуться и разлетятся. Считать этот удар абсолютно упругим. И система начнет разлетаться симметричным образом. Найти конечные скорости всех шайб после их разлета. Трения нет. Размерами шайб пренебречь.

[fred1996]

Вот и я о чем.
Мне кажется, можно общими усилиями как-то попытаться формализовать задачу.
На самом деле хоть сила и бесконечна, но и время ее действия пропорционально тому же косинусу. То есть изменение импульса будет вполне конечным. Интергал импулься сходится, а маленькая шайбочка все равно пролетит сколько надо и нить не провиснет. Меня поначалу заинтересовал вопрос, а существуют ли такие соотношения масс, что в какой-то момент натяжение нити станет равно нулю и нить провиснет? Например масса налетающей шайбы очень мала по сравнению с двумя другими. И эта маленькая шайбочка отпружинит от нити при каком-то конечном угле. Но вроде нет.

На самом деле меня давно интересует такой тип задач с нитями.
Например есть известная задача, когда такую же конструкцию начинают тянуть с постоянной силой $F$ за середину нити. Такая задача имеет достаточно красивое и простое решение. Потому что вертикальная составляющая натяжения нити постоянна независимо от угла.

-- 21.07.2017, 17:08 --

Ну вот.
Получается, это я сам с собою тут полемизирую. :)
Нет, ну если энергия в этой задаче сохраняется, то она сводится к дифуру первой степени с интегралом, который не берется в элементарных функциях. Но все равно это решение.
Я правда так и не могу понять, что же тут с ЗСЭ?
Возможно, какая-то часть энергии теряется от "удара" шабы о нить. Потому что дальше уже ей негде теряться.

[amon]

Это я виноват - стер предыдущий пост за неконструктивностью. Заменим нить пружинкой. Тогда в задаче две сохраняющиеся величины, видимые простым выпуклым морским глазом - энергия и полный импульс системы. При этом в энергию войдет энергия пружинки. Решать я это отказываюсь, поскольку в задаче шесть степеней свободы и всего три интеграла движения. Возможно, все можно решить, если считать, что изначально расстояние между крайними шариками меньше длины нити. В этом случае натяжение в момент удара будет конечным, и вроде можно сделать предельный переход к бесконечной жесткости. Удар будет неупругим, поскольку внутренняя энергия нити все равно останется. (Эх, где наш Oleg Zubelevich...)

[Dmitriy40]

Странно, я всё равно не вижу особых сложностей, как и писал в исходной теме. Там правда не факт что решение верное.
Перейдём в систему координат налетающего тела (обозначим его как первое). В этой СО на неподвижное тело налетают два тела соединённые нитью. Т.к. нить никогда не сминается, то её можно заменить двумя стержнями с шарниром по центру. В момент удара нити по первому телу вторые тела двигаются влево с исходной скоростью первого тела $2v_0$. После соприкосновения вторые тела проворачиваются по окружности с сохранением линейной скорости. До удара, после которого весь процесс повторяется в обратную сторону до полного разлёта вторых тел в исходное вертикальное положение, расцеп первого тела и нити и улетании вторых тел вправо с исходной скоростью $2v_0$.
Остаётся вопрос что же будет в неподвижной ИСО, отлетит ли первое тело назад влево, продолжит движение вправо или останется неподвижным. Тела с нитью однозначно полетят вправо (из ЗСИ). В неподвижной ИСО первое тело налетает на нить, тянет её вправо, вторые тела начинают двигаться вправо и к центру, удар, в этот момент скорость всех тел одинакова и равна $2v_0\frac{2m}{2m+m+m}=v_0$ (или половине исходной скорости первого тела) вправо, обратный разлёт вторых тел до исходного вертикального положения, при этом происходит расцепление первого тела и нити, вторые тела получают добавку скорости ровно столько сколько и потеряли до этого момента (т.е. $v_0$), т.е. скорость полностью переходит от первого тела ко вторым, которые и улетают вправо со скоростью $2v_0$ (исходной скоростью первого тела), а первое тело при этом останавливается.
Фактически удар первого тела об нить является в итоге абсолютно упругим, но растянутым во времени. Которое легко найти как время двойного прохода телом угла 90° окружности радиуса $L$ с линейной скоростью $2v_0$: $t_2=\frac{\pi L}{2v_0}$.
Вопрос с перемещением тел за время взаимодействия (от соприкосновения первого тела с нитью до расцепления) интересен. Но, скорость первого тела в неподвижной ИСО в любой момент времени выражается как $v_1(t)=v_0(1+\cos(\frac{2v_0}{L}t)), t=0..t_2$, достаточно взять $\int\limits_0^{t_2}v_1(t)dt$, он и даст перемещение.
PS. Надеюсь нигде не наврал.
PPS. Интереснее вариант с произвольной массой $M$ налетающего тела.

[amon]

Dmitriy40 в сообщении #1235287 писал(а):

Т.к. нить никогда не сминается, то её можно заменить двумя стержнями с шарниром по центру.

А почему Вы уверены, что нить не сминается? В момент соприкосновения для нерастяжимой нити на тела будет действовать бесконечная сила, и какая у них будет скорость по направлению к среднему - бог весть. Если нить заменить стержнем, то решается, но поворачиваться тела будут не по окружности, поскольку третье тело тоже начнет двигаться. Для стержней можно написать систему линейных диф.уров, но там надо будет решать алгебраическое уравнение то ли четвертой, то ли пятой степени, а на это у меня лично энтузиазма не хватает.

[Dmitriy40]

amon в сообщении #1235295 писал(а):

поворачиваться тела будут не по окружности, поскольку третье тело тоже начнет двигаться.

Ну, начнёт. Но я то рассматривал процессы в СО именно этого тела, а в ней оно неподвижно по определению.
И в этой же СО тривиально доказывается что нить всегда максимально натянута - ведь на неё действует "центробежная" сила со стороны малых тел (которая разумеется сила реакции нити, равная произведению центростремительного ускорения малых тел на их же массу). Нет ни одного момента времени в этой СО, когда бы малые тела приближались к центру СО (первому телу). В силу независимости физических процессов от выбора СО такого момента нет и в неподвижной СО.

amon в сообщении #1235295 писал(а):

В момент соприкосновения для нерастяжимой нити на тела будет действовать бесконечная сила,

Разве бесконечная? Почему не всего лишь центростремительная? Производная ускорения (по времени) в этот момент будет бесконечной, да, но само ускорение - нет, вполне себе конечное. Почему нет?

[amon]

Dmitriy40 в сообщении #1235299 писал(а):

Но я то рассматривал процессы в СО именно этого тела, а в ней оно неподвижно по определению.

А Вы уверены, что это инерциальная СО?

[Dmitriy40]

amon в сообщении #1235300 писал(а):

А Вы уверены, что это инерциальная СО?

Я уверен в обратном. Тело же тормозится. Но я вроде бы и не требовал инерциальности СО. Во всяком случае не вижу где это должно повлиять на выкладки.

[amon]

Dmitriy40 в сообщении #1235299 писал(а):

Разве бесконечная?

Пусть нить натянута, но длина нити больше расстояния между крайними телами. Тогда в точке касания налетающего тела она имеет излом с углом $\alpha$ при вершине. Пусть тело действует на нить с силой $F$, тогда нить действует на тело с той же силой, и натяжение нити $T=\frac{F}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$. Для полностью натянутой нити $\alpha=\pi$ и $T=\infty$ для любой ненулевой $F$.

Для несжимаемых стержней мы получим задачу с двумя голономными связями вида $(x-x_i)^2+(y-y_i)^2=l^2$, где значок $i$ нумерует крайние тела. Решать ее можно либо подходящим выбором координат, либо множителями Лагранжа, но никаких окружностей там близко не просматривается. Множители ведут к уравнению высокой степени, а координат хороших я не придумал, хотя, возможно, такие и есть. В вашем подходе скорость Вашей системы координат непрерывно меняется, причем в момент удара - скачком, и как Вы разруливаете проблему с силами инерции - я не очень понимаю.

[Dmitriy40]

Да я и сам не очень понимаю. Взял ЗСЭ и ЗСИ и посчитал по ним в некоторых положениях системы (до удара о нить, в момент удара, момент удара мелких тел друг о друга, момент расцепления нити от первого тела). А уж что там в промежутках творится ... Догадался (очень ориентировочно).

[lel0lel]

Задача интересная, напишу кое-какие мысли. Заменим в рассмотрении нить на нерастяжимую невесомую широкую ленту (можно и липкую, но лучше нет), почему-то, прочитав условие, возникло такое желание. Будем полагать, что в начальный момент эта лента расправлена, но натяжение в ней равно нулю. Ибо, откуда ему там взяться, если стол гладкий, значит шайбы "упереться" о него не могут.

Мысленно заменим две шайбы, лежащие на столе, на пластилиновые шарики. Тогда, как ранее указывал fred1996, мы будем иметь дело с замедленным неупругим ударом, правда, с довольно резкой потерей небольшой части энергии в начале, при соударении шарика с лентой. Основная же потеря энергии (выделение теплоты, деформация пластилина) произойдет при столкновении двух шайб, что приведет к исчезновению вертикальных компонент их скоростей. Возможны три случая:
1) Горизонтальные скорости шайб и шарика выровнялись до того как произошло столкновение, к этому моменту у них уже имеется вертикальные компоненты скоростей, с которыми они продолжат движение навстречу друг другу до момента удара. Заметим, что когда лента натянута она образует равнобедренный треугольник с постоянной боковой стороной $L$, движение пластилиновых шайб навстречу (вертикальное) уменьшает его основание, следовательно увеличивает высоту. Таким образом, после выравнивания горизонтальных скоростей продолжающееся вертикальное движение шайб приведет к провисанию нити. В некоторый момент наступает слипание пластилина и неупругое соударение завершено, далее система своего состояния не изменит.
2) Горизонтальные скорости шайб и шарика выровнялись к моменту столкновения. Здесь все понятно из предыдущего пункта.
3) Горизонтальные скорости шайб и шарика не успели выровняться к моменту столкновения. Вероятно, в случае нерастяжимой нити этого быть не может, она под самый конец (когда лента практически горизонтальна) все-таки заставит шайбы набрать необходимую скорость. Но если нет, то будет нечто нехорошее типа бесконечных сил. А поскольку мы за все хорошее, то это попросту рассматривать не будем.

Для момента времени $t$ имеем следующие уравнения для скорости шарика $u=u(t)$, горизонтальной $v_x=v_x(t)$ и вертикальной компоненты скорости шайбы $v_y=v_y(t)$ :
$MV=M u+2mv_x$,
$MV^2=Mu^2+2m(v_x^2+v_y^2)+2\varepsilon$, где \varepsilon$ потеря энергии при ударе шарика о ленту.
Уравнение кинематической связи или условие для движения с натянутой лентой
$v_x dt+\sqrt{4L^2-(l-2v_y dt)^2}/2-\sqrt{4L^2-l^2}/2=u dt$, где $l=2L-2\int_0^t v_y dt$.
Для очень близких к начальному моменту времени (когда $l\approx 2L$) это уравнение приводит к следующему
$v_y(t)\to \frac{V^2 t}{2L}$ при $t\to 0$.
А для отличных от нуля моментов
$v_x+\frac{l}{\sqrt{4L^2-l^2}}v_y=u$.
Численно должно решаться.

[realeugene]

amon в сообщении #1235310 писал(а):

Пусть нить натянута, но длина нити больше расстояния между крайними телами. Тогда в точке касания налетающего тела она имеет излом с углом $\alpha$ при вершине. Пусть тело действует на нить с силой $F$, тогда нить действует на тело с той же силой, и натяжение нити $T=\frac{F}{2\cos\frac{\alpha}{2}}$. Для полностью натянутой нити $\alpha=\pi$ и $T=\infty$ для любой ненулевой $F$.

В первоначальной ИСО шайбы натяжение абсолютно жесткой нити в момент удара считается тривиально, оно конечно, и становится очевидным, что при ударе шайбы о нерастяжимую нить в этой задаче энергия сохраняется. А про неупругий удар ТС упомянул, видимо, чтобы запутать решающих.

(подсказка)

Шарик массой $m$ летит со скоростью $v$ и цепляется за неподвижный стержень невесовым проволочным крючком, торчащим вбок перпендикулярно его скорости. Каким будет натяжение проволоки после захвата?

[wrest]

realeugene в сообщении #1235601 писал(а):

Шарик массой $m$ летит со скоростью $v$ и цепляется за неподвижный стержень невесовым проволочным крючком, торчащим вбок перпендикулярно его скорости. Каким будет натяжение проволоки после захвата?

Вот здесь, как раз, мне кажется что это именно абсолютно неупругий удар (конец стержня "слипается" с шариком), и где-то кинетическая энергия должна перейти во внутреннюю. Но непонятно какого тела. Крючка, видимо.

[realeugene]

wrest в сообщении #1235607 писал(а):

Но непонятно какого тела.

Вот именно.

Добавлю, что ещё непонятно, какая именно энергия. Если крючок невесомый, то его кинетическая энергия равна нулю.

[EUgeneUS]

Попробуем решить интуитивно :)

fred1996 в сообщении #1235223 писал(а):

Когда шайба касается нитки, происходит ее временое слипание с ниткой так,

Так как "слипание" временное, то большая шайба не прилипает к нитке, и не хватается за нитку крючками.

fred1996 в сообщении #1235223 писал(а):

Найти конечные скорости всех шайб после их разлета. Трения нет. Размерами шайб пренебречь.

Нужно найти скорости шайб после разлёта. Это резко упрощает задачу.

1. Перейдем в ИСО ц.м.
2. Первое касание большой шайбы и нитки произойдет как раз в ц.м. системы.
3. Далее нитка будет тормозить шайбу, пока маленькие шайбы не столкнуться и не начнут разлетаться.
4. Разделение нитки и большой шайбы произойдет, когда нитка "вертикальная".
5. Записываем ЗСМИ - нитка не может вращаться после отлета большой шайбы.
6. Записываем ЗСИ - тела обменялись импульсами (в ИСО ц.м).
7. Для выбранных масс и скоростей: большая шайба остановится, маленькие шайбы улетят от неё со скоростью $2v$, вращаться не будут.