Кубический сплайн

[AMOH]

Здравствуйте.

Есть книга "Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001. 604 с.", ссылка на электронный вид http://sernam.ru/book_mm3d.php .
В 5-ой главе, раздел кубические сплайны описан метод построения сегментов сплайна.
Конечная формула для сегмента выглядит следующим образом:
$P(t)=P_1+P'_1 t+\frac{3 (P_2-P_1)}{t_2^2}-\frac{2 P'_1}{t_2}-\frac{P'_2}{t_2} t^2+\frac{2 (P_1-P_2)}{t_2^3}-\frac{P'_1}{t_2^2}-\frac{P'_2}{t_2^2} t^3$

Не понятно с касательными: они берутся произвольно или находим? Если находим , тогда как?

[worm2]

В данной задаче касательные $P'_1$ и $P'_2$ заданы в условии.
Находим мы вектора-коэффициенты сплайна при степенях $t$.

-- Чт июл 20, 2017 20:49:27 --

Кстати, нужно ещё скобки поставить:

$$P(t)=P_1+P'_1 t+\left(\frac{3 (P_2-P_1)}{t_2^2}-\frac{2 P'_1}{t_2}-\frac{P'_2}{t_2}\right) t^2+\left(\frac{2 (P_1-P_2)}{t_2^3}-\frac{P'_1}{t_2^2}-\frac{P'_2}{t_2^2}\right) t^3$$

[AMOH]

Как их задали?
$P_1, P_2$ известны, t изменяется от 0 до 1 (допустим). А вот $P'_1, P'_2$ откуда берутся? Произвольно?

[worm2]

Да, $P'_1$ и $P'_2$ задаются произвольно как нам надо.

$P_1$ и $P_2$ — это точки в пространстве (например, $P_1=(0,0,0)$ и $P_2=(1,1,1)$), которые мы хотим соединить плавной линией. Они задаются произвольно.
$P'_1$ и $P'_2$ — это направления, или, если хотите, векторы, начинающиеся в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Например, можно задать $P'_1=(1,1,1)$ и $P'_2=(-1,-1,-1)$. В данном случае это будет означать, что из точки $P_1$ наша линия выстрелилась прямиком в направлении $P_2$, и в $P_2$ она попала прямиком с направления $P_1$. Это приведёт к тому, что сплайн будет отрезком $P_1P_2$ (по формуле не считал, но уверен в этом). Но можно задать наоборот, $P'_1=(-1,-1,-1)$ и $P'_2=(1,1,1)$. Это значит, что линия из $P_1$ выйдет в направлении, противоположном $P_2$, потом изогнётся, сделает какую-то петлю и придёт в $P_2$ с направления, противоположного $P_1$. Ну и вообще любые направления $P'_1$, $P'_2$ можно задать, кроме нулевого. Нулевой вектор не задаёт направления.

[svv]

AMOH
Хорошо, если Вам приходилось работать с программами векторной графики типа CorelDraw или Adobe Illustrator. В них Вы можете нарисовать сегмент сплайна на плоскости, задавая вручную как раз $P_1, P_2, P'_1, P'_2$ (только они там так не называются; подписи мои). Сегмент в процессе редактирования выглядит примерно так (левая картинка):

Голубые квадратики — опорные точки $P_1, P_2$, задают начало и конец кривой. Но, кроме опорных точек, есть ещё «рычажки» (красные квадратики), от их положения зависит форма кривой. Векторы с началом в голубом квадратике и концом в красном (пунктир) — это $P'_1$ и $P'_2$ (точнее, $-P'_2$).

Для примера: я подвёл мышку к красному квадратику (конец вектора $P'_1$) и из положения на левой картинке перетянул его в положение на правой картинке. Сразу изменилась форма кривой.

Имеет значение не только направление векторов $P'_1, P'_2$, но и длина: от длины зависит, насколько кривая стремится «прилипнуть» к касательной или, наоборот, оторваться от неё.

[arseniiv]

В той книге, кстати, и про Безье есть, и про B-сплайны, и всё это в том же разделе, но дальше по тексту.

[AMOH]

worm2, svv
Спасибо!