Решить систему уравнений.

[AlexSam]

Докажите, что для любой Пифагоровой тройки $(x, y, z)$ существует рациональное число $n$
такое, что выпоняется система уравнений:

$\begin{cases} &{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}\\ &{x}^{2}+n\,{y}^{2}={w}^{2}\\ &n\,{x}^{2}+\,{{y}^{2}}={{t}^{2}} \end{cases}$

[Shadow]

(Оффтоп)

Так по мне, $n=1$ вполне годится, Усилите, пожалуйста, условие

[AlexSam]

Да, не заметил .
Добавляю: $n\ne0$ и $n\ne1$.

[Dmitriy40]

А ограничений на $w, t$ нет? Ну тогда подходят такие вещественные числа $w, t$, чтобы выполнялось равенство $w^2+t^2=(n+1)z^2$, например $t=0, w=z\sqrt{n+1}$, при некоторых значениях $n$ все числа станут даже целыми.

-- 21.07.2017, 04:02 --

Можно и без $t=0$, тогда при равенстве $n+1$ полному квадрату получим другую Пифагорову тройку: $w=x\sqrt{n+1}, t=y\sqrt{n+1}$ (или наоборот).

[AlexSam]

Dmitriy40 в сообщении #1235046 писал(а):

$w^2+t^2=(n+1)z^2$.

Оказалось все гораздо проще: $(n+1)$ или квадрат или сумма квадратов.

[12d3]

Для любых рациональных $x,y$, а не только для пифагоровой тройки, все возможные $n$ описываются однопараметрической формулой $n=\frac{4p(x-py)(px^3-y^3)}{(p^2x^2-y^2)^2}$

[AlexSam]

12d3 в сообщении #1235106 писал(а):

Для любых рациональных $x,y$, а не только для пифагоровой тройки, все возможные $n$ описываются однопараметрической формулой $n=\frac{4p(x-py)(px^3-y^3)}{(p^2x^2-y^2)^2}$

Да. Это оно! У меня решение не такое красивое:

$$n=\frac{\left( {{\left( 2 {{a}^{2}} s+{{b}^{2}} h+{{a}^{2}} h\right) }^{2}}-4 {{a}^{2}}\, {{b}^{2}}\, {{h}^{2}}\right) \, \left( {{\left( 2 {{b}^{2}} s+{{b}^{2}} h+{{a}^{2}} h\right) }^{2}}-4 {{a}^{2}}\, {{b}^{2}}\, {{h}^{2}}\right) }{{{\left( 4 {{a}^{2}}\, {{b}^{2}}\, {{s}^{2}}-{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}\right) }^{2}}\, {{h}^{2}}\right) }^{2}}}$
и
$$n=\frac{\left( {{\left( b s-a h\right) }^{2}}-{{\left( a s+b h\right) }^{2}}\right) \, \left( {{\left( {{b}^{3}} s-3 {{a}^{2}} b s+a\, {{b}^{2}} h+{{a}^{3}} h\right) }^{2}}-{{\left( 3 a\, {{b}^{2}} s-{{a}^{3}} s+{{b}^{3}} h+{{a}^{2}} b h\right) }^{2}}\right) }{16 {{a}^{2}}\, {{b}^{2}}\, {{s}^{2}}\, {{\left( 2 a b s+{{b}^{2}} h-{{a}^{2}} h\right) }^{2}}}$