Ядерные реакции

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые, помогите решить задачу: Какую кинетическую энергию необходимо сообщить протону, чтобы он смог расщепить покоящееся ядро тяжелого водорода.
Если правильно понимаю, реакция такая: $D_1^2 + p \to H_1^1 + H_1^1 + n_0^1 $ , где: $D_1^2, \, p, \, H_1^1, \, n_1^1 $ - соответственно: дейтрон, протон, ядро водорода, нейтрон. Выделившаяся энергия: $Q = c^2(M_D + m_p -2\cdot M_H - m_n) $ , после вычислений $Q < 0$. Если правильно понимаю, именно эту энергию должна восполнить кинетическая энергия налетающего протона, т.е. $K_p = \left\lvert Q \right\rvert$? Кинетическая энергия продуктов реакции, если правильно понимаю может быть $=0$ , т.к. требуется найти мин.энергию для расщепления? Или не так? С ответом не сходится.
Если применить закон сохранения импульса: $ m_p \cdot \overrightarrow u = M_H \cdot \overrightarrow v_1 + M_H \cdot \overrightarrow v_2 + m_n \cdot \overrightarrow v_3 $ , и закон сохранения энергии, то совсем не понятно как им воспользоваться, много переменных?

[lel0lel]

Имеет смысл решить такую классическую задачу: шарик массы $m$ неупруго соударяется с неподвижным шариком массы $M$, какая доля кинетической энергии перейдет в тепло? С определенными оговорками это эквивалентно вашему вопросу (в нерелятивистском приближении).

[Dmitriy40]

А на преодоление куловского отталкивания энергии разве не нужно?

[Stensen]

Dmitriy40 в сообщении #1234924 писал(а):

А на преодоление кулоновского отталкивания энергии разве не нужно?

Доп.энергия для преодоления кулоновского отталкивания: $W = \frac{ke^2}{r}$ , где: $r=2 \cdot 10^{-15} $ м, радиус действия ядерных сил, в условии задачи он не дан, правильно ли я его выбрал?

lel0lel в сообщении #1234922 писал(а):

Имеет смысл решить такую классическую задачу: шарик массы $m$ неупруго соударяется с неподвижным шариком массы $M$, какая доля кинетической энергии перейдет в тепло? С определенными оговорками это эквивалентно вашему вопросу (в нерелятивистском приближении).

Не совсем понятно, при таких реакциях возможно ли, что продукты реакции останутся неподвижными, если энергия налетающего протона минимальна для расщепления?

[lel0lel]

Dmitriy40 в сообщении #1234924 писал(а):

А на преодоление куловского отталкивания энергии разве не нужно?

Это хорошее замечание. На близких расстояниях кулоновский барьер становится существенным, а на еще более близких присутствует потенциальная яма, связанная с ядерным взаимодействием. Но, если я не ошибаюсь, кулоновское отталкивание неявно присутствует в дефекте масс реакции, потому как ЗСЭ записывают только для кинетических энергий и масс, участвующих в реакции частиц. На ЗСИ кулоновское отталкивание и подавно не влияет, так как это внутренние силы.

Stensen в сообщении #1234920 писал(а):

Если правильно понимаю, именно эту энергию должна восполнить кинетическая энергия налетающего протона, т.е. $K_p = \left\lvert Q \right\rvert$?

В системе центра инерции (СЦИ) сумма кинетических энергий сталкивающихся частиц должна быть не меньше $\left|Q\right|$. В лабораторной системе координат значение для кинетической энергии можно самостоятельно получить или посмотреть в учебнике.

Если изначально мишень покоилась, то продукты не могут остаться в покое согласно ЗСИ.

[Dmitriy40]

Я бы сдедал так.
В ИСО исходного ядра дейтерия продукты реакции не могут остаться неподвижными т.к. налетевший протон имел ненулевой импульс, который должен сохраниться. Можно посчитать уменьшение импульса протона при приближении к ядру дейтерия на "ядерное" расстояние (этот импульс приобретёт ядро дейтерия), после чего всё считать уже в ИСО центра масс системы. В ней оставшийся импульс (не скорости!) делится поровну между протоном и ядром дейтерия (векторная сумма нулевая). А из импульса можно получить и кинетическую энергию и протона и ядра до начала реакции. Записываете баланс энергии до (с учётом кинетической энергии протона и ядра) и после. Если баланс окажется отрицательным - этот недостаток энергии нужно добавить протону и ядру до начала реакции (с сохранением равенства модулей импульсов протона и ядра в ИСО центра масс) и пересчитать лишнюю энергию через импульс обратно в энергию протона. Если положительным - лишнюю энергию унесут продукты реакции разлетаясь не строго вдоль исходной траектории протона и тогда "кулоновской" энергии достаточно для начала реакции. Чем задаются углы разлёта (кроме условий на импульс и энергию) я не знаю и если они по какой-то причине обязаны быть не нулевыми (в ИСО центра масс), то придётся приплюсовать эту добавку энергии в баланс энергии.

-- 20.07.2017, 21:25 --

Хитрый вопрос на который я не знаю ответа: надо ли учитывать электромагнитное излучение и тормозящимся протоном, и ускоряющимся ядром дейтерия? Это может уменьшить энергию вступающих в реакцию исходных частиц. Или эта уносимая энергия (ну и имупльс) достаточно мала для её игнорирования?

-- 20.07.2017, 21:40 --

lel0lel в сообщении #1234941 писал(а):

ЗСЭ записывают только для кинетических энергий и масс, участвующих в реакции частиц.

Ага, но в ИСО центра масс исходных частиц (и продуктов реакции). Вот только в ИСО центра масс из-за торможения протона и ускорения ядра дейтерия скорость исходных частиц вовсе не будет равна скорости протона в ИСО ядра дейтерия (неподвижной ИСО). А в ИСО центра масс энергия протона и ядра дейтерия до реакции будет меньше энергии протона в неподвижной ИСО на величину кулоновского отталкивания. И если они не сблизятся до "ядерного" расстояния, то и реакции вообще не произойдёт.

-- 20.07.2017, 21:44 --

Для упрощения можно сразу перейти в ИСО центра масс, надо только приравнять модули импульса протона и ядра дейтерия (и их сумму исходному импульсу протона) и найти их кинетические энергии. Потом вычесть энергию на преодоление кулоновского барьера и для остатка записывать баланс энергии ядерной реакции.

[Stensen]

lel0lel в сообщении #1234941 писал(а):

На близких расстояниях кулоновский барьер становится существенным, а на еще более близких присутствует потенциальная яма, связанная с ядерным взаимодействием.
Но, если я не ошибаюсь, кулоновское отталкивание неявно присутствует в дефекте масс реакции, потому как ЗСЭ записывают только для кинетических энергий и масс, участвующих в реакции частиц.

Поясните пожалуйста. Я считал, что:
1. работа $A_k$ по преодолению кулоновского отталкивания для сближении частиц до потенциальной ямы (радиуса действия ядерных сил) и
2. энергия связи ядра $E_s$ (дефект массы), являющаяся следствием выделения энергии в результате разгона "слипающихся" частиц под действием ядерных сил после их сближения -
это работы (энергии) сил разной природы и никак не связаны. Или все-таки связаны? Есть ли функциональная зависимость: $E_s = f(A_k)$ между энергией связи и работой по сближению частиц до потенциальной ямы? Или я Вас не правильно понял?

[lel0lel]

Цитата:

Энергия связи ядра – минимальная энергия, необходимая для того, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны).

Она зависит от всех взаимодействий внутри ядра, в том числе и от кулоновского. Есть ли зависимость от внешнего неоднородного поля, в котором может находиться ядро, например, поле налетающей частицы? Я считаю, что такая зависимость имеется. Потому как два мысленных эксперимента - распад неподвижного ядра в поле точечного заряда при попадании в него нейтрона и аналогичный распад без внешнего поля (по моему мнению) приведут к разным пороговым значениям энергии нейтрона. Но различие будет пренебрежимо малым, так как основной вклад в энергию связи от ядерного взаимодействия.

Поэтому моя "мысля" о том, что энергия взаимодействия удаленной частицы и ядра учтена волшебным образом в энергии связи неверна. Как написал Dmitriy40 при сближении частиц часть начальной кинетической энергии будет растрачена на движение частицы-мишени и на преодоление кулоновского барьера. В момент столкновения нам нужно знать импульсы частиц. Их можно найти, записав ЗСЭ (с учетом электрического взаимодействия) и ЗСИ.

[Dmitriy40]

У меня получился ответ $2{,}7$МэВ или почти $23$ тысячи км/с. Из них $2{,}224$ МэВ дефект масс и $0{,}480$ МэВ кулоновский барьер (радиус почему-то получился 3 фм). Но в числах не очень-то уверен.

[Dmitriy40]

Попробовал оценить потери на излучение тормозящимся протоном, получил величину порядка $10^{-13}$ эВ, как-то подозрительно ничтожно.

[lel0lel]

Dmitriy40, давайте сверим численные результаты. Просто сейчас тоже посчитал - другой ответ получился. Финальная формула для кинетической энергии протона (при условии, что стреляют с бесконечности) следующая $E=W\left(1+\frac{m}{M}+\frac{W}{2Mc^2}\right)$, где $W=\Delta m c^2+ke^2/r_0$. Нерелятивистский вариант $E=W\left(1+\frac{m}{M}\right)$ подходит для этой задачи. Выражение в скобках с нужной точностью равно $1.5$. У меня результаты оказались примерно в полтора раза больше чем у вас.

[Dmitriy40]

lel0lel в сообщении #1235233 писал(а):

У меня результаты оказались примерно в полтора раза больше чем у вас.

Оба, и дефект массы и кулоновский барьер? Я во втором очень уж не уверен, не понимаю почему у меня получился $r_0=3$ фм. Считал как $r_0=1{,}4\cdot10^{-15}(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{1})\approx3\cdot10^{-15}$, не уверен и в необходимости суммы, и в коэффициенте. Ну и скобка у меня равна $1$, вероятно поэтому и больше у Вас ровно в $1{,}5$ раза. А единице она потому что относительно ядра дейтерия протон всего лишь теряет $0{,}480$ МэВ и остаток энергии протона участвует в ядерной реакции. Ну или я совсем туплю.

[Dmitriy40]

Тут ещё подумал, энергия вступающих в реакцию исходных частиц ведь должна считаться в ИСО центра масс? А в ней энергия на треть меньше. Вот и возникает множитель $1{,}5$ для начальной энергии протона, этого я не учёл. Значит Вы правы, lel0lel, правильный результат $\approx 4$ МэВ или почти $28$ тысячи км/с.

[DimaM]

Кстати, параллельно будет идти реакция

$$p+{}^2_1\mbox{D}\to{}^3_2\mbox{He}+\gamma$$

(входит в протон-протонный цикл).

[Dmitriy40]

Сбацал на коленке программку симуляции разгона протона (с начальной энергией $2{,}224$ МэВ на радиусе $3$ фм) кулоновским полем ядра дейтерия, числовые значения подтвердились, плюс посчиталась энергия излучения (ради чего и затевалось), $0{,}4$ эВ. Всего лишь. Причём если разгонять неподвижный протон, то затраты на излучение уже $2{,}8$ эВ. Заодно увидел что от изменения $r_0$ энергетическая высота кулоновского барьера зависит $\sim \dfrac{1}{r}$, а потери энергии на излучение $\sim \dfrac{1}{r^3}$. Что в общем общеизвестно. Ну ещё увидел что для расчётов вполне достаточно удаления протона на 100-кратное (или даже 30-кратное) расстояние, продолжение расчётов до бесконечности меняет величины менее долей процента.