2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 IMO 2017 (задача 2)
Сообщение19.07.2017, 00:38 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Найдите все функции $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$, которые при всех $x$ и $y$ удовлетворяют равенству:
$$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: IMO 2017 (задача 2)
Сообщение19.07.2017, 10:12 


20/04/10
1776
$f(x)=0, f(x)=c(1-x)$, где $c\in \mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: IMO 2017 (задача 2)
Сообщение19.07.2017, 13:46 
Заслуженный участник


04/03/09
906
1) Подставим $x=y=0$. Если обозначить $f(0)=c$, то $f(c^2)=0$.
2) Подставим $y=c^2$. Тогда $c+f(x+c^2)=f(c^2 x)$. Если $c^2 \neq 1 $, то подставив $x=\frac{c^2}{c^2-1}$, получим $c=0$, и тогда $f(x) \equiv 0$. Если же $c^2=1$, то $f(1)=0$. Дальше будем рассматривать только случай $c^2=1$.
3) Пусть для некоторого $x_0 \neq 1\,\,\, f(x_0)=0$. Подставим $x=x_0,y=\frac{x_0}{x_0-1}$, получим $c+ f\left(\frac{x_0^2}{x_0-1}\right)=f\left(\frac{x_0^2}{x_0-1}\right)$. Противоречие. Значит $f(x)=0 \Rightarrow x=1$.
4) Подставим $y=0$. Получим $f(cf(x))+f(x)=c$. Следовательно, любого $t$ если $\exists x : t=cf(x) $, то $f(t)=c-\frac{t}{c}=c-ct=c(1-t)$.
5) Подставим $y=1$, получим $f(x)-f(x+1) = c$. Следовательно, для целого $n$ верно $f(x)-f(x+n)=cn$. А т.к. $f(1)=0$, то для любого целого $x$ верно $f(x) = c(1-x)$.
6) Пусть для некоторого $x_0 \,\,\, f(x_0)=c$. Тогда из пункта 4 $f(x_0+1) = c-c=0$. Из пункта 3 $x_0+1=1 \Rightarrow x_0=0$. Т.е. $f(x)=c \Rightarrow x=0$.
7) Пусть для некоторых $a,b$ $f(a)=f(b)$. Тогда $f(a-1)=f(b)+c$ и для любого целого $n$ $f(a+n-1)=f(b+n)+c$. Если $n$ достаточно большое, то $(b+n)^2 \ge 4(a+n-1)$, и тогда $\exists x,y : a+n-1=xy \wedge b+n=x+y$. Подставив эти $x,y$, получим $f(f(x)f(y))=c$. Из пункта 5 следует, что $f(x)f(y)=0 \Rightarrow x=1 \vee y=1 \Rightarrow (x+y)-xy = 1$. Значит $ (b+n)-(a+n-1)=1 \Rightarrow a=b$. Т.е., доказали, что функция инъективна.
8) Возьмем любое $x$, обозначим $y=cf(x)$. Из пункта 4 $f(y)=c(1-y) \Rightarrow 1-y = cf(y)$. Применяем теперь утверждение пункта 4 к $(1-y)$, получим $f(1-y)=c(1-(1-y))=cy$. Но у наc уже $f(x)=cy$. Из инъективности следует, что $x=1-y \Rightarrow 1-x=cf(x) \Rightarrow f(x)=c(1-x)$, где $c^2=1$.
Таким образом, Всего существуют три таких функции $f(x)=c(1-x)$, где $c \in \{-1,0,1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: IMO 2017 (задача 2)
Сообщение19.07.2017, 18:49 


20/04/10
1776
12d3 в сообщении #1234564 писал(а):
где $c \in \{-1,0,1\}$

Точно, что-то я не стал подставлять решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: IMO 2017 (задача 2)
Сообщение19.07.2017, 18:53 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
12d3
Здорово!
Первые 5 шагов я прошел, да, один в один. А вот до 6-го - такого простого, но ключевого - не допер. Так что при д-ве инъективности - по тому же плану , вместо 6 пытался учесть 3, безуспешно, увы.
:!: :!:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group