Ну что ж. Давайте разгребать кашу. Очень надеюсь, что подключатся математики этого форума - я во многом недостаточно компетентен говорить серьёзно.
1.
Если по простому -- это фундаментальные предметы для современной математики.
Для начала, надо отличать "Мат. анализ" и "Алгебру" как учебные предметы, и как разделы математики.
Как разделы математики - да, они фундаментальные. Но всю математику далеко не охватывают. Впрочем, математика состоит из разделов, довольно тесно взаимосвязанных, и плавно перетекающих один в другой, так что мат. анализ и алгебра - образуют что-то вроде "ядер" с размытой и очень большой периферией (в том числе, и перекрывающейся для этих двух "ядер"). Если брать "ядра" по минимуму, то они охватывают не такую уж большую часть математики (считанные проценты, ну десяток-полтора процентов), если со всей периферией по максимуму - может быть, до одной - двух третей математики.
Как учебные курсы - это очень небольшой кусок математики. Те же считанные проценты, или даже ещё меньше.
Разделов достаточно много, судя по оглавлению учебной литературы
Вот судить по оглавлению учебной литературы - большая ошибка. Учебная литература охватывает то, что дают студентам. Причём часто начальная часть предмета даётся под одним названием, а его продвинутые части и ответвления - под другими названиями. В разных вузах дают разные части предмета, так что большинство учебной литературы сосредоточено на элементарных разделах, которые даются везде. Дальше учебная литература плавно переходит в монографии, в том числе специальные и исследовательские (с оригинальными результатами). Такие можно давать не только студентам, но и аспирантам и специалистам. И наконец, на дальнем конце спектра - обзорные и исследовательские работы: статьи и другие виды публикаций (сборники статей, препринты, тезисы и доклады, диссертации).
Как-то охватить весь предмет одним взором довольно трудно. Можно обладать большой эрудицией, накопленной за много лет изучения, а то и собственной работы. А можно собирать сведения по справочным материалам, причём и тут - нельзя судить по одному чему-то. Например:
- Математическая Энциклопедия (правда, она, увы, подустарела: 1970-е годы), иные энциклопедии;
- классификаторы, например, arXiv, AMS, Колхоза, УДК - правда, они тоже устаревают и часто неравномерны;
- Википедия (
[1],
[2]), иные аналогичные ресурсы;
- разные другие сайты, например,
http://web.archive.org/web/*/http://www.math-atlas.org/ [1] [2],
http://meta.math.stackexchange.com/questions/6479/a-graph-map-of-math-seВ итоге:
- ваше перечисление направлений (тут уже не точно будет сказать - разделов) алгебры - более-менее похоже на правду;
- а вот ваше представление об анализе сильно хромает, в сторону самых начальных учебных курсов.
Какие разделы наиболее актуальные и в каких ведутся научные исследования -- i don't know. Скорее всего об этом лучше знают квалифицированные математики.
Хотя вот, рабочие программы аспирантуры Математического института им. В. А. Стеклова РАН по направлениям
Вы можете хотя бы примерно сопоставить одни списки с другими? Подразумевая, что в первых вы перечисляете "ветви", а во вторых - "листья".
Что конкретно выбрать, сейчас мне сложно сказать.
Из этого - пока ничего. Я не сказал, где бы вы хотели работать. Я спросил, что бы вы хотели изучить до современного уровня - а это ещё не значит "до уровня работы".
Вы действительно убеждены, что человеку с высшим инженерным образованием нужно проходить школьный курс за 7-10 классы, чтобы читать учебники для высшей школы?
Ну, если человек с высшим инженерным - уже спотыкается в школьном материале, то его хорошо бы освежить. Ведь если этого не сделать, вы будете с большим (с бо́льшим и с больши́м) трудом продвигаться там, где типичный студент идёт быстро. А то и завязнете намертво.