Вычет функции в точке

[Alexgalustov]

Здравствуйте!
Не уверен в правильности решения. Подскажите, пожалуйста, можно ли так считать вычет?

Задание:
Найти вычет функции комплексного переменного $f(z)=\ctg(z^2)$ в точке $z=0$

Я сделал с помощью замены $z^2=t$.
Изначально полюс был второго порядка, а при замене стал первого.
Применяю соответствующее правило $\operatorname{res}_{t=0}=\frac{\cos(t)}{\dot{\sin(t)}_{t=0}}=\frac{1}{1}=1$.

По-другому как сделать – не знаю. В ряд Лорана не видел никогда, чтобы котангенс раскладывали в нуле. Да и не получится, наверно.

[Mishka_Barni]

Нельзя.

Можно воспользоваться аналогичной формулой для вычисления вычета функции в случае кратного полюса, которая есть в любом учебнике по комплексному анализу.
А можно самому эту формулу вывести (запоминать её смысла нет), если исходить из того, что вычет (не в бесконечно удалённой точке) функции $f(z)$ в точке $z_0$, это коэффициент $c_{-1}$ в разложении Лорана функции $f(z)$ в окрестности $z_0$. Надо только вспомнить вид ряда Лорана, в случае кратного полюса.

[Brukvalub]

Рассмотрим функцию $f(z)=\frac{1}{z^2}.$ Ее вычет в нуле равен 0, но после вашей "чудесной" замены он станет единицей!

[DeBill]

Alexgalustov в сообщении #1234200 писал(а):

В ряд Лорана не видел никогда, чтобы котангенс раскладывали в нуле. Да и не получится, наверно.

Ну, мало ли что - не видел. Ведь получится...

(Оффтоп)

И, кстати: а как выглядит ряд Лорана ЧЕТНОЙ функции?

[ewert]

Alexgalustov в сообщении #1234200 писал(а):

Я сделал с помощью замены $z^2=t$.

Нельзя, т.к вставляется ветвление.

Alexgalustov в сообщении #1234200 писал(а):

В ряд Лорана не видел никогда, чтобы котангенс раскладывали в нуле

Никто и не раскладывает, т.к. это не нужно. Но зато тангенс прекрасно раскладывается в Тейлора (у вас это должно было быть ещё в первом семестре, хоть сейчас уже, формально говоря, и не в тему). Просто тупо вынесите главный член тангенса за скобки и только потом разделите.