Отрицательные значения

[Ktina]

Даны вещественные числа $x, y, z$.
Из трёх чисел $x^2+2xy+z^2$, $y^2+2yz+x^2$ и $z^2+2zx+y^2$ ровно $n$ являются отрицательными.
Найти все возможные значения $n$ и доказать, что других нет.

[wrest]

Ktina в сообщении #1234154 писал(а):

Найти все возможные значения $n$ и доказать, что других нет.

$n=0$ если все $x,y,z$ положительные.
$n=1$ например при $x=0;y=-1;z=1$
$n=2$ например при $x=5;y=-3;z=-2$
Для $n=3$ требуется чтобы все три попарных произведения $x,y,z$ были отрицательные, но это невозможно ни для каких комбинаций знаков $x,y,z$

Итого, $n=0,1,2$

[arqady]

Для $n=3$ все три попарных произведения должны быть как раз положительными.
Вот если их сложить, то всё получается.

[wrest]

arqady в сообщении #1234192 писал(а):

Для $n=3$ все три попарных произведения должны быть как заз положительными.

В задаче спрашивают:

Ktina в сообщении #1234154 писал(а):

Из трёх чисел $x^2+2xy+z^2$, $y^2+2yz+x^2$ и $z^2+2zx+y^2$ ровно $n$ являются отрицательными.

Вот чтобы все три были отрицательными, надо чтобы попарные произведения $xy$, $yz$ и $zx$ были отрицательными, поскольку сумма квадратов всегда неотрицательна.

[arqady]

Аааа... Вы про эти... Эти - да, конечно.

[Ktina]

wrest
Большое спасибо!