Математическое моделирование [для программистов]

[Sphinx Pinastri]

У Д. Кнута в "Искусстве программирования" есть глава про моделирование и пример модели умного лифта. Вообще, модель процесса + двоичный поиск по ответу позволяют быстро решить некоторые задачи, где явное аналитическое решение придумать трудно. Хотя программисты, наверно, это и сами знают.

[AlexSch]

fred1996, большое спасибо за такой подробный комментарий! Я тоже думаю, что рассматривать задачи на лекции будет полезнее всего, попутно можно и нужные математические темы рассматривать. Многие из предложенных Вами моделей я обязательно включу в курс, некоторые интересные модели физики я ещё нашёл в книге "Компьютерное моделирование в физике" (авторы Гулд и Тобочник).
Вообще интересно делать проекты наподобие такого: http://www.stefanom.org/spc/ Но это достаточно долго и сложно для обычного курса.

Sphinx Pinastri, спасибо за наводку на эту модель, обязательно посмотрю! Как раз для программистов.

[GAA]

Сначала занудные банальности
1. Вы не указали:
a) был ли у студентов курс Численные методы или аналогичный (или были ли начала численных методов в УМФ, в каком объёме в ТВиМС изучались генераторы случайных чисел, изучалась генерация выборок и т.п.); какие курсы программирования им уже прочитали, какими пакетами / языками они владеют;
b) какие спецкурсы будут опираться на знания, умения и навыки, полученные при изучении ММ; какие курсы читаются параллельно.

В общем, я бы попытался для начала выяснить, что уже было, что им надо знать/уметь/… и как бы не пересечься. (Выяснить у руководства факультета или кафедры).

2. Как я понял, у Вас лекции и ЛР будут идти «параллельно». Одна из задач успеть начитать необходимый материал. Я бы поскорее определился с основными разделами курса и основными программными продуктами, на базе которых будут проводиться ЛР, а затем прикинул бы план лекций и ЛР. [Если программные продукты ещё не знакомы студентам, то каждый «модуль» можно начинать с ЛР, посвящённой «среде» пакета.]

3. Перед тем как подбирать рекомендуемую литературу постарайтесь уточнить на кафедре (в деканате) ограничения по году издания, доступности в библиотеке университета, библиотеках города.

На конкретные вопросы
1) На мой взгляд, для программистов — это связка математический аппарат — пакет / язык программирования (а предметная область — это вторично).

2) Что-то на лекции для мотивации, что-то в качестве примера приложения теории, а что-то в ЛР. Исследование некоторых моделей можно оставить на СРС (Самостоятельную Работу Студентов), если СРС есть по учебному плану. Чем удачней выбор моделей, тем лучше слушаются лекции. На лекции можно выполнить анализ при некоторых фиксированных параметрах, для которых наблюдается что-то интересное, или при специальном выборе правой части уравнения. Ну и тому подобное, в зависимости от модели. Полный анализ модели, затягивающийся на целую лекцию или несколько лекций, как-то удручающе действует на студентов.

3) Брюсселятор, орегонатор (оригинальный и урезанный двухкомпонентный), и вообще модели типа реакция — диффузия или реакция — конвекция — диффузия — это, скорее, для студентов математических, химических и биологических специальностей.

[У меня личная просьба, если найдёте на русском свежее и подробное учебное пособие/учебник по этой теме, то отпишитесь в ветку. Мне эта тема тоже интересна. Если относительно свежей рекомендуемой литературы не будет хватать, то можно посмотреть достаточно популярный учебник M. Cross and H. Greenside “Pattern formation and dynamics in nonequilibrium systems”, 2009.]

Аналогично, динамика популяций. Можно, конечно, что-то простое по динамике популяций прочитать (оригинальная модель хищник — жертва Вольтерра, работа Колмогорова, модель конкуренции двух видов Вольтерра в разных модификациях, …), а что делать на ЛР? Фазовые портреты рисовать?

[К слову. Есть несколько «ехидная» работа Анализ работ Г.Ф. Гаузе о динамике численностей видов в биологических сообществах / В. Н. Тутубалин, Ю. М. Барабашева, Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер // Историко-математические исследования. Вторая серия. Выпуск 14(49). — М.: «Янус-К», 2011. — С. 224–242. Можно нагуглить pdf.
У Тутубалина и компании есть ещё «публицистическая работа» Математическое моделирование в экологии: Историко-методологический анализ.]

[DimaM]

AlexSch
По физике рискну еще предложить нашу методичку http://ancient.hydro.nsc.ru/MPP_Specourse/mpp.pdf.
Доступна еще графическая оболочка http://ancient.hydro.nsc.ru/mppg/index.htm, чтоб сосредоточиться на физике, а не на конструировании окошечек.

___________
«Ещё»: из темы удалено два сообщения. (Просто недоразумение). / GAA, 29.07.2017

[AlexSch]

GAA, большое спасибо за такой обстоятельный ответ!
Когда в самом первом сообщении я перечислял уже изученные студентами курсы, я как раз про численные методы благополучно забыл :) Курс этот изучался, но только самые основы: решение уравнений, численное интегрирование, дифференцирование, интерполяционные полиномы, системы линейных уравнений, задача Коши. Курс программирования у них был трёхсеместровый, изучались C++, C#, было введение в параллельное программирование и что-то ещё по мелочи. Кроме того, было знакомство с Maple.
Параллельно изучаются методы оптимизации, а в дальнейшем курсов, которые бы опирались непосредственно на курс матмоделирования, в учебном плане бакалавриата я не увидел.

С литературой полегче, там требования известны - книги не старше 10 лет. Благо есть доступ к электронным библиотечным системам.

Насчёт брюсселятора-орегонатора — думаю, Вы правы. Хотя биологические и отчасти химические модели часто довольно интересные. Мне очень нравится известный двухтомник Мюррея "Математическая биология" (русский перевод 2009 года), там и реакция Белоусова-Жаботинского рассматривается с разных сторон, и есть разделы про модели образования пятен на шкуре животных, и многое другое.

Отдельное спасибо за отсылку к тексту про анализ работ Гаузе. Довольно интересно, надо будет изучить подробнее. Сравнение модели "хищник-жертва" с "трупом дорогого покойника" - это жёстко, но, наверное, справедливо

-- 16.07.2017, 18:39 --

DimaM, большое спасибо за ссылку на методичку, по-моему хорошее изложение, первая часть будет особенно полезной.

[GAA]

Завершение занудных банальностей
Если в УМФ или численных методах не было численных методов для квазилинейных уравнений параболического типа, то непросто будет подготовить ЛР по распределённым моделям. Самостоятельно программы на C студенты сами за время ЛР, боюсь, не успеют написать.
По крайней мере, до самой последней версии в Maple (pdsolve/numeric) была возможность численно интегрировать уравнения (и системы) параболического типа только с одной пространственной переменной. Как будто и Matlab умеет интегрировать квазилинейные уравнения параболического типа только в одномерном случае (pdepe). [В этом месте планировал дать ссылку на тему в CS и позабыл. Приведенная чуть дальше ссылка — именно для старых версий WM. Для новых она не нужна, см. в теме ниже. /18.07.2017] Может в Wolfram Mathematica (WM) проще? Понадеемся, что знатоки зайдут и расскажут (в идеале напишут тему-обзор в Околонаучном софте).
Если не все так хорошо, то для двумерных задач нужно смотреть в сторону других пакетов, типа FlexPDE (и тут решать вопрос приобретения или поиска бесплатного аналога).

Есть и другое затруднение. Для получения в пространстве параметров областей диффузионной неустойчивости нужно уметь решать задачу на собственные значения для оператора Лапласа. А это программисты, как будто, смогут сделать (для области на плоскости) только в случае двух простейших видов областей: прямоугольника и круга. (И то для круга нужно будет использовать функции Бесселя первого рода.) Это к раскраске шкур.

Ограничение 10 лет ожидаемое и довольно жесткое. Т.е. в рекомендованную литературу уже не вставить
Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии, 1987;
Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. Введение в теоретическую биофизику, 2004. (это переиздание старой книги);
Братусь А.С., Новожилов А.С., Родина Е.В. Дискретные динамические системы и математические модели в экологии, Учебное пособие, 2005;
Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. 2003 (расширенно переиздание книги «Математическая биофизика взаимодействующих популяций», 1985, но не исправленное: опечаки/недоразумения так и остлись);
Алексеев В.В. Крышев И.И., Сазыкина Т.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем, 1992
…и многие другие книги

В контексте биологических моделей можно посмотреть (легко нагуглить)
Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамические системы и модели биологии 2011.

Успеть рассмотреть за один семестр и «детерминированные», и «стохастические» модели — не просто. Желательно выяснить, не будет ли у них магистерских курсов по Имитационному моделированию.

По теме
«Стохастическое моделирование» и «Имитационное моделирование» (каждый под этим понимает немного отличающиеся вещи) у физиков, химиков, биологов и программистов, на мой взгляд, совершенно разное. У биологов, например, столь сложные объекты, что молекулярная динамика с эмпирическими многочастичными потенциалами даже на кластере будет выполняться вечно. Там свои подходы, упрощения, ухищрения и свой инструментарий. Но и тогда всё не так быстро.
Программистам иногда включают в курс что-то в духе систем массового обслуживания (СМО). Сети Петри раньше на постсоветском пространстве (как сейчас я не знаю; более того, я не знаю в какой стране будет читаться этот курс) был отдельный курс. (Имитационное моделирование тоже отдельный курс).

Не зависимо от содержания курса обычно рекомендуют посмотреть книгу Соболь И.М. Численные методы Монте Карло, 1973.

[Новое издание Мюррея, в частности второй том (Murray J. D. “Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications”, 3rd ed, 2003), я по диагонали читал на английском. Там слишком кратко. Самые начальные сведения. На мой взгляд.]

[Aritaborian]

GAA в сообщении #1234015 писал(а):

Может в Wolfram Mathematica проще?

Во всяком случае по вашей ссылке навряд ли найдётся что-то стоящее. Тот пакет не обновлялся с 2004. А вот если порыться в демонстрашках, можно что-то найти: хотя бы раз, два; возм., что-то ещё.

[GAA]

Aritaborian, в «два» — одномерное уравнение. (Там в основном в демонстрашках одномерные уравнения). А метод по ссылке «раз» делается и в Maple. Я с WM не работаю. Гадать не буду. Надеюсь специалисты напишут.

Интересно, старый архив не живой?

[Aritaborian]

Он как минимум скачивается и открывается ;-) Написан в Mathematica 5.0, содержит документацию с картинками. Это выяснил, просматривая файлы как текстовые. Можно попробовать запустить на современной системе...

-- 17.07.2017, 02:07 --

GAA в сообщении #1234030 писал(а):

Интересно, старый архив не живой?

Ой, вы могли иметь в виду, жив ли тот сайт. Нет, заброшен. Чудо ещё, что его не выпилили напрочь из интернетов.

[GAA]

Aritaborian, и то, и то. Спасибо.
[По справке в новых версиях WM NDSolve поддерживает решение УЧП c двумя пространственными переменными. [Upd]И видимо в самой свежей версии даже в какой-то области $\Omega$.[/Upd] Возможно в новых версиях головной боли будет меньше. Ещё раз. Опыта работы с WM у меня нет.]

[Aritaborian]

Пакет таки устанавливается на самую свежую версию Wolfram Desktop и даже делает вид, что работает, хотя получить от него красивых картинок у меня сходу не получилось. Возможно, при внимательном чтении его документации из него получится что-то выжать.