Вариации формул вершин, граней и ребер

[kthxbye]

Сомневаюсь в корректности названия темы, ну да ладно. У куба, как известно, 8 вершин, 6 граней и 12 ребер. Увеличим сторону до двух:



Посчитаем те же параметры, но соразмерные исходному кубу с единичной стороной (все, что внутри, тоже учитываем). Получаем вот такие формулы:

1) $(n+1)^3$ для "вершин" (точек пересечения);
2) $3n^{2}(n+1)$ для "граней" (квадратов);
3) $3n(n+1)^2$ для "ребер" (отрезков);

Кроме того, указанный куб можно представить, как плоский шестиугольник. Соот.-но формулы:

1) $3n(n+1)+1$ для точек;
2) $6n^2$ для треугольников;
3) $3n(3n+1)$ для отрезков;

Другая фигура, которая представима как в виде объемной, так и плоской - пирамида (и квадрат):



Для квадрата формулы аналогичны, общий вид для m-угольника будет такой:

1) $\frac{mn(n+1)}{2}+1$ для точек;
2) $mn^2$ для треугольников;
3) $\frac{mn(3n+1)}{2}$ для отрезков;

А вот что делать с пирамидой? Что там внутри, я хорошо представляю, но вылазит почему-то рекуррентная формула:

1) 1;
2) 3;
3) 6+1 (7);
4) 9+3 (12);
5) 12+6+1 (19);
6) 15+9+3 (27);
7) 18+12+6+1 (37);
8) 21+15+9+3 (48);

Расширяющееся суммирование этих значений дает нам 4, 11, 23, 42, 69, 106, 154. Это "вершины". Остальные параметры не рассматривал. Где ошибка?

Существуют ли общие формулы ("вершин", "граней" и "ребер") для многогранников? Изображение каких еще многогранников, расположенных под определенным углом, одновременно является плоской фигурой (разделенной на равные части, пусть это всегда будут треугольники)?

[arseniiv]

kthxbye в сообщении #1233997 писал(а):

Существуют ли общие формулы ("вершин", "граней" и "ребер") для многогранников?

Вас же интересуют не многогранники, а семейства многогранников. Для этого сначала надо определиться с тем, какие семейства рассматриваются.