Функция!

[phunico]

Кто значет о функции:
{d}_{k}(n)=\frac{(k+m_1-1)!}{m_1!(k-1)!}\frac{(k+m_2-1)!}{m_2!(k-1)!}...\frac{(k+m_r-1)!}{m_r!(k-1)!} ,(k=2,3,..)
где
{n}={{p}_{1}}^{{m}_{1}}{{p}_{2}}^{{m}_{2}}{...}{{p}_{r}}^{{m}_{r}}
p_1, p_2,...,p_r простые числa
Ее свойства,

[maxal]

Вопрос-то в чем?

[Бодигрим]

Из тривиальных свойств можно сразу отметить, это мультипликативная функция. А вообще присоединяюсь к вопросу maxal.

Upd.: Еще могу вспомнить формулу

$$ \zeta^k(s) = \sum_{n=1}^\infty {d_k(n)\over n^s} $$

, где $\zeta(s)$ - дзета-функция Римана.

[ИСН]

Это какое-то обобщение $\tau(n)$, только куда обобщение и зачем - не понимаю.

[Бодигрим]

ИСН, $d_k(n)$ это число способов представления $n$ в виде $k$ множителей. В частности, $d_2(n)=\tau(n)$.

[ИСН]

О!
Ведь правда.

[phunico]

Cпасибо!
Ещё свойствa?

[Бодигрим]

Цитата:

Ещё свойствa?

Какие именно свойства вас интересуют? Так сходу больше ничего не припомню.

[phunico]

Цитата:

Какие именно свойства вас интересуют? Так сходу больше ничего не припомню.

Я незнаю ее свойства. Поэтому я спрашивал.

[RIP]

Можно глянуть Титчмарш Е.К. — Теория дзета-функции Римана, Гл. XII. Там обсуждается асимптотика для сумматорной функции $\sum\limits_{n\leqslant x}d_k(n)$ при $x\to\infty$.

Можно на эту же тему ещё посмотреть Воронин С.М., Карацуба А.А. — Дзета-функция Римана, Гл. IV, §4.

[Gordmit]

В Handbook of Nubmer Theory нашел такое интересное свойство:

$$k^{\omega(n)}\leqslant d_k(n)\leqslant k^{\Omega(n)}$$

, где $\omega(n)=r$ - количество простых множителей в $n$ без учета кратностей, а $\Omega(n)=\sum\limits_{i=1}^r m_i$ - с учетом кратностей.

[RIP]

Gordmit писал(а):

В Handbook of Nubmer Theory нашел такое интересное свойство:

$$k^{\omega(n)}\leqslant d_k(n)\leqslant k^{\Omega(n)}$$

, где $\omega(n)=r$ - количество простых множителей в $n$ без учета кратностей, а $\Omega(n)=\sum\limits_{i=1}^r m_i$ - с учетом кратностей.

Откуда получаем, что нормальный порядок $\log d_k(n)$ есть $\log k\cdot\log\log n$, т.е. при любом $\varepsilon>0$ для "почти всех" $n\in\mathbb N$ выполняется

$$k^{(1-\varepsilon)\log\log n}\leqslant d_k(n)\leqslant k^{(1+\varepsilon)\log\log n}$$

(см. Hardy G.H., Wright E.M. — An Introduction to the Theory of Numbers, пп. 22.11, 22.13; книга содержит просто невообразимое количество опечаток).