Предгильбертово пространство без ортонормированного базиса

[Lawenan-law]

Требуется привести пример. К чему пришел - пробую разредить несепарабельное пространство функций на $[0,1]$, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек, с суммируемым рядом квадратов значений, с $(f_1,f_2)$ = $\displaystyle\sum\limits_{i=1}a_ib_i $ следующим образом: для каждой точки $r$ отрезка $[0,1]$ сопоставляю кусочно заданную ф-цию

$$ f_r(x)=\begin{cases} e^{-1/(rx)}&\text{в точках $(r, r/2,\ldots, r/2n, \ldots)$;}\\ 0&\text{ в остальных $x$.} \end{cases} $$

Далее беру линейную оболочку: каждый элемент $z$ можно представить конечным набором $(r_1,r_2,\ldots,r_n,a_1,a_2,\ldots,a_n)$: $z = f_{r_1}a_1+f_{r_2}a_2+\ldots+f_{r_n}a_n$. Здесь $f_{r_i}$ - функция, сопоставляемая числу $r_i$, $a_i$, $r_i$ - числа.

Также пробовал вместо таких функций рассматривать функции, ненулевые на заданной последовательности точек, стремящейся к $r$, и быстро убывающие на ней(каждому $r$ - одна такая функция).

То есть я пытаюсь найти баланс между тем, чтобы элементы находились на приличном расстоянии, и тем, чтобы достаточно большая для полноты система не могла быть ортогональной.
Дальше все никак не идет (

[svv]

Посмотрите в английской Википедии статью Inner product space, пункт Orthonormal sequences.
Формулируются две теоремы:

Wiki писал(а):

Any separable inner product space $V$ has an orthonormal basis.
Any complete inner product space $V$ has an orthonormal basis.

И, ниже, самое интересное:

Wiki писал(а):

The two previous theorems raise the question of whether all inner product spaces have an orthonormal basis. The answer, it turns out is negative. This is a non-trivial result, and is proved below. The following proof is taken from Halmos's A Hilbert Space Problem Book (see the references).

И под спойлером доказательство. Я в нём ничего не понимаю и оценить его конструктивность не могу.

[Lawenan-law]

svv в сообщении #1233646 писал(а):

Посмотрите в английской Википедии статью Inner product space, пункт Orthonormal sequences.
Формулируются две теоремы:

Wiki писал(а):

Any separable inner product space $V$ has an orthonormal basis.
Any complete inner product space $V$ has an orthonormal basis.

И, ниже, самое интересное:

Wiki писал(а):

The two previous theorems raise the question of whether all inner product spaces have an orthonormal basis. The answer, it turns out is negative. This is a non-trivial result, and is proved below. The following proof is taken from Halmos's A Hilbert Space Problem Book (see the references).

И под спойлером доказательство. Я в нём ничего не понимаю и оценить его конструктивность не могу.

О, спасибо огромное, офигенное доказательство) Насколько же английская вики содержательнее нашей в плане математики