Мироника писал(а):
То есть можно взять произвольные нач. усл.

,

и далее

,

.... Так?
Почти так. Знаки равенства тут совершенно неуместны.
Можно было бы начать так:
Пусть

,

,

.
Тогда

,

,

.
Бодигрим писал(а):
Подразумевает ли преподаватель под поиском частного решения разрешение задачи Коши для общего или нет - не знаю.
Такой метод даёт общее решение в форме Коши, то есть, выраженное через начальные значения. Поэтому поиск частного решения сводится к подстановке начальных значений в полученное общее решение.
AD писал(а):
Нет, ну терминология прозрачная вроде. Чтобы решить неоднородное уравнение, надо сначала решить в общем виде однородное, а потом найти частное (какое-нибудь) решение неоднородного.
AD, Вы, вероятно, этот метод не изучали. Формально он состоит в том, что к обеим частям уравнения применяется преобразование Лапласа, и получается (в данном случае алгебраическое) уравнение для изображения. Находим изображение, а по нему - искомую функцию. В принципе, есть формула обращения преобразования Лапласа, но в простых случаях, подобных обсуждаемому, обходятся таблицами преобразования Лапласа.
В данном случае для изображения получится уравнение
откуда легко найти
а по нему восстанавливается
(я почему-то уверен, что
Мироника уже эту задачу решила, поэтому и пишу практически полное решение).