операционное исчисление

[Мироника]

Вот такая задачка:
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения
$x''-2x'+x=e^t$.
Мне кажется или здесь действительно не хватает начальных условий?

[Бодигрим]

Не обязательно. Просто найдите произвольную функцию $x$, удовлетворяющую этому уравнению.

[Мироника]

То есть можно взять произвольные нач. усл. $x(0)=C_1$, $x'(0)=C_2$ и далее $x'(t)=pX(p)-x(0)$, $x''(t)=p^2X(p)-px(0)-x'(0)$.... Так?

[ewert]

Мироника писал(а):

Вот такая задачка:
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения
$x''-2x'+x=e^t$.
Мне кажется или здесь действительно не хватает начальных условий?

Не кажется. Операционный метод действительно предназначен для поиска именно единственного решения задачи Коши, коль скоро та задача поставлена.

Однако: никто ведь не может запретить ту задачу с произвольными начальными данными (которые, собственно, и суть произвольные постоянные). Вот и выйдет общее решение.

Насколько такой подход разумен -- вопрос другой.

[Бодигрим]

Наверное. Скажем так: при такой постановке задания я бы сделал именно так. Подразумевает ли преподаватель под поиском частного решения разрешение задачи Коши для общего или нет - не знаю.

[Мироника]

Спасибо

[AD]

Нет, ну терминология прозрачная вроде. Чтобы решить неоднородное уравнение, надо сначала решить в общем виде однородное, а потом найти частное (какое-нибудь) решение неоднородного.

Добавлено спустя 59 секунд:

То есть какое-нибудь решение для каких-нибудь начальных условий.

Добавлено спустя 30 секунд:

P.S. Разумеется, можно и в обратном порядке.

[Someone]

Мироника писал(а):

То есть можно взять произвольные нач. усл. $x(0)=C_1$, $x'(0)=C_2$ и далее $x'(t)=pX(p)-x(0)$, $x''(t)=p^2X(p)-px(0)-x'(0)$.... Так?

Почти так. Знаки равенства тут совершенно неуместны.
Можно было бы начать так:

Пусть $x(0)=x_0$, $x'(0)=x'_0$, $x(t)\leftarrow\!\!:\,x^*(p)$.
Тогда $x'(t)\leftarrow\!\!:\,px^*(p)-x_0$, $x''(t)\leftarrow\!\!:\,p^2x^*(p)-x_0p-x'_0$, $e^t\leftarrow\!\!:\,\frac 1{p-1}$.

Бодигрим писал(а):

Подразумевает ли преподаватель под поиском частного решения разрешение задачи Коши для общего или нет - не знаю.

Такой метод даёт общее решение в форме Коши, то есть, выраженное через начальные значения. Поэтому поиск частного решения сводится к подстановке начальных значений в полученное общее решение.

AD писал(а):

Нет, ну терминология прозрачная вроде. Чтобы решить неоднородное уравнение, надо сначала решить в общем виде однородное, а потом найти частное (какое-нибудь) решение неоднородного.

AD, Вы, вероятно, этот метод не изучали. Формально он состоит в том, что к обеим частям уравнения применяется преобразование Лапласа, и получается (в данном случае алгебраическое) уравнение для изображения. Находим изображение, а по нему - искомую функцию. В принципе, есть формула обращения преобразования Лапласа, но в простых случаях, подобных обсуждаемому, обходятся таблицами преобразования Лапласа.
В данном случае для изображения получится уравнение

$$(p^2x^*-x_0p-x'_0)-2(px^*-x_0)+x^*=\frac 1{p-1}\text{,}$$

откуда легко найти

$$x^*(p)=\frac{x_0}{p-1}+\frac{x'_0-x_0}{(p-1)^2}+\frac 1{(p-1)^3}\text{,}$$

а по нему восстанавливается
$x(t)=x_0e^t+(x'_0-x_0)te^t+\frac 12t^2e^t$
(я почему-то уверен, что Мироника уже эту задачу решила, поэтому и пишу практически полное решение).