Теория чисел 2

[CliniqueHappy]

Доказать равенство $\left \lfloor \sqrt[]{1} \right \rfloor+\left \lfloor \sqrt{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \sqrt{n^{2}-1} \right \rfloor=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$ Для $\left \lfloor\sqrt{n^{2}-1}\right \rfloor$ верно.То начиная от n до $\left \lfloor \sqrt{(n+1)^{2}-1} \right \rfloor$ имеем сумму $n(2n+1)$ значит $\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}+n(2n+1)$должно быть равно $\frac{n(n+1)(4(n+1)+1)}{6}$ Но почему-то не сходится в одном значении вместо $4n^{2}$ получается $8n^{2}$ Что тут не так?

[Sonic86]

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

Доказать равенство $\left \lfloor \sqrt[]{1} \right \rfloor+\left \lfloor \sqrt{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \sqrt{n^{2}-1} \right \rfloor=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$

Если изменить порядок суммирования в соответствующей двойной сумме, то получится сумма от многочлена, которую известно как считать.

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

значит $\frac{n(n+1)(4n+1)}{6}+n(2n+1)$

по индукции доказываете?
а в числителе $n+1$ или $n-1$?

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

$...=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$

[CliniqueHappy]

Sonic86 в сообщении #1233388 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

Доказать равенство $\left \lfloor \sqrt[]{1} \right \rfloor+\left \lfloor \sqrt{2} \right \rfloor+...+\left \lfloor \sqrt{n^{2}-1} \right \rfloor=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$

Если изменить порядок суммирования в соответствующей двойной сумме, то получится сумма от многочлена, которую известно как считать.

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

значит $\frac{n(n+1)(4n+1)}{6}+n(2n+1)$

по индукции доказываете?
а в числителе $n+1$ или $n-1$?

CliniqueHappy в сообщении #1233385 писал(а):

$...=\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$

Опечатка исправил её. Но на бумажке правильно написано. По индукции.

[Sonic86]

CliniqueHappy в сообщении #1233392 писал(а):

Опечатка исправил её. Но на бумажке правильно написано.

Ну я проверил, что $\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ - это верно. Или в чем-то другом затруднение?

Кстати, это почти не теория чисел, это просто дискретный матанализ.

[CliniqueHappy]

Sonic86 в сообщении #1233395 писал(а):

CliniqueHappy в сообщении #1233392 писал(а):

Опечатка исправил её. Но на бумажке правильно написано.

Ну я проверил, что $\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}+n(2n+1)=\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ - это верно. Или в чем-то другом затруднение?

Кстати, это почти не теория чисел, это просто дискретный матанализ.

Затруднений больше нет, спасибо большое.