Теория чисел

[CliniqueHappy]

$\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor+...\left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor=\left \lfloor nx \right \rfloor$ Здравствуйте, помогите решить пожалуйста.Пробовал решить, устал.
Почему нельзя вынести за скобку $\frac{1}{n}$в $\left \{ x+\frac{1}{n} \right \}$ ?

[arseniiv]

$\left\{\frac9{10} + \frac1{10}\right\} = 0$, но $\left\{\frac9{10}\right\} + \frac1{10} = \left\{\frac9{10}\right\} + \left\{\frac1{10}\right\} = 1$. Кроме того, $n$ может быть равно 1, и тогда даже $\left\{\frac1n\right\}\ne\frac1n$.

[CliniqueHappy]

arseniiv в сообщении #1231773 писал(а):

$\left\{\frac9{10} + \frac1{10}\right\} = 0$, но $\left\{\frac9{10}\right\} + \frac1{10} = \left\{\frac9{10}\right\} + \left\{\frac1{10}\right\} = 1$. Кроме того, $n$ может быть равно 1, и тогда даже $\left\{\frac1n\right\}\ne\frac1n$.

Это понятно, спасибо, но как задачу тогда решать?

[iifat]

Может, стоит для начала попробовать подставить конкретные $x, n$? К примеру, $x=5\frac16,n=3$. Что получится?

[alcoholist]

iifat в сообщении #1231776 писал(а):

Может, стоит для начала попробовать подставить

$x=\frac{k}{n}$, $k=0,1,\cdots,n$?

[CliniqueHappy]

iifat в сообщении #1231776 писал(а):

Может, стоит для начала попробовать подставить конкретные $x, n$? К примеру, $x=5\frac16,n=3$. Что получится?

15 получится

[iifat]

CliniqueHappy в сообщении #1231780 писал(а):

15 получится

Интересный ответ.
— Верно ли, что Волга впадает в Каспийское море?
— Пятнадцать!

[Sonic86]

Подберите для $x$ такое представление в виде линейной функции, чтобы все фигурные скобки легко раскрывались.

[TOTAL]

CliniqueHappy в сообщении #1231769 писал(а):

$\left \lfloor x \right \rfloor+\left \lfloor x+\frac{1}{n} \right \rfloor+...\left \lfloor x+\frac{n-1}{n} \right \rfloor=\left \lfloor nx \right \rfloor$ Здравствуйте, помогите решить пожалуйста.

При скольки целых $t, \;\; 0 \le t \le n-1$, выполняется неравенство $x+t/n \ge 1$ ? (Считаем $0 \le x < 1$)
А вот при скольки: $ \lfloor {n-n(1-x)} \rfloor$.

[CliniqueHappy]

alcoholist в сообщении #1231779 писал(а):

iifat в сообщении #1231776 писал(а):

Может, стоит для начала попробовать подставить

$x=\frac{k}{n}$, $k=0,1,\cdots,n$?

Спасибо. При увеличении x на $\frac{1}{n}$, $\left \lfloor nx \right \rfloor$ увеличивается на единицу.

[CliniqueHappy]

Интуитивно все это понятно. Но это же не доказательство. Это как-бы индукция.

[alcoholist]

CliniqueHappy в сообщении #1231946 писал(а):

Но это же не доказательство

почему же не доказательство? У вас $n$ фиксировано в формуле. Для чисел вида $x=\frac{k}{n}$ истинность формулы проверяется вручную. Для чисел из интервала $\left(\frac{k-1}{n};\frac{k}{n}\right)$ тоже понятно. Вот и всё.

[alhimikoff]

Сколько раз поместится $1/n$ в 1-$\left\lbrace x \right\rbrace$?
Столько же раз слагаемое будет на единицу больше $<x>$.
($\left\lbrace x \right\rbrace$- дробная часть, $<x>$ - целая)

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

$\{x\}$, $\langle x \rangle$.