Сто точек на плоскости

[Ktina]

а) Можно ли отметить на плоскости 99 точек так, чтобы какое бы целое число от 1 до 19 ни назвали, нашлась бы прямая, на которой лежит ровно столько отмеченных точек?

б) Можно ли отметить вышеуказанным образом 100 точек?

[DeBill]

$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....

[Мастак]

А если в некоторых точках пересекаются не две обусловливающие прямые, а три и более?
Ведь когда более трех прямых, то появляются такие вааансии.

[Iam]

Пояснения и пример конструкции здесь.

[TOTAL]

Вот принцип построения для $8$ (для $19$ аналогично).
Строим синий уголок, разбиваем каждую его сторону семью ($8-1$) точками, проводим черные линии, половину (включая биссектрису) точек пересечения которых назначаем искомыми красными точками. Для половины самых богатых точками линий добавляем по одной зауголочной красной точке.

[Мастак]

TOTAL в сообщении #1231979 писал(а):

Вот принцип построения для $8$ (для $19$ аналогично).
Строим синий уголок, разбиваем каждую его сторону семью ($8-1$) точками, проводим черные линии, половину (включая биссектрису) точек пересечения которых назначаем искомыми красными точками. Для половины самых богатых точками линий добавляем по одной зауголочной красной точке.

Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно". PS Вот для 19 уже и "вычислительно необозримо" (для случая, если программу написать, которая варианты нарисовок перебирала бы).

[TOTAL]

Мастак в сообщении #1232170 писал(а):

Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно".

Вопрос про доказательство был снят сразу:

DeBill в сообщении #1229606 писал(а):

$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....

[Мастак]

TOTAL в сообщении #1232508 писал(а):

Мастак в сообщении #1232170 писал(а):

Так версий процедур построения пересекающихся линий и выбора на этих линиях точек можно предложить много, причем все процедуры возможно записать алгоритмически с входным параметром: 8, ..., 19. И вопрос-то: доказать (на каком основании) это "топологическое свойство", что, например, для 8 меньше, чем 20, не получится, так как не слишком "очевидно".

Вопрос про доказательство был снят сразу:

DeBill в сообщении #1229606 писал(а):

$19+(18-1)+ (17-2)+(16-3)+... +(10-9) = 19+17+15+...+3+1=100$.
Сто точек надо, однако.....

Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

[TOTAL]

Мастак в сообщении #1232516 писал(а):

Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

Что именно Вам не понятно в доказательстве?

[Мастак]

TOTAL в сообщении #1232518 писал(а):

Мастак в сообщении #1232516 писал(а):

Хм. Это "процесс откусывания" как бы по столько точек, сколько возможно, НО при "по умолчанию" условии, что любые две прямые пересекаются только в одной точке. Вопрос в том,
если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются (то есть уже "откусили" какие-то точки на предыдущих шагах построения ряда и учитывать их уже не надо).

Что именно Вам не понятно в доказательстве?

Вот если представить пространство из всяческих пересечений конечного числа прямых, то условия задачи возможно интрепретировать как критерии поиска экстремума в этом пространстве. И есть вот много локальных экстремумов (например, вот Вами показанных рисунок, и показанный подсчет как обоснование годиться только для определенного рода рисунков, и второй - вот приведнный мною рисунок, тоже 20, где возможный систематический подсчет уже иной).
Неочевидно, что нет еще (как бы) "локального экстремума" с меньшим числом отмеченных точек.

[TOTAL]

Мастак в сообщении #1232554 писал(а):

Неочевидно, что нет еще (как бы) "локального экстремума" с меньшим числом отмеченных точек.

Очевидно, что для $n=19$ необходимо минимум $100$ точек. Что тут непонятного?

[DeBill]

Мастак в сообщении #1232516 писал(а):

любые две прямые пересекаются только в одной точке.

Если - более, то они совпадают, однако...
Если -менее, то тем хужее для них.
То же - для

Мастак в сообщении #1232516 писал(а):

если в одной точке более двух контрольных прямых пересекаются

(больше точек потребуется)