Достаточное условие периодичности

[Gargantua]

Здравствуйте.
Есть система автономных уравнений
$\dot{x}=f(x,\alpha)$, где $x \in R^n ,\, \alpha \in R^m- $ параметры системы. Как найти достаточное условие того, что при каких-то значениях параметров системы решением будет периодическая функция с заданным периодом $T$? Необходимое условие очевидно. А вот существует ли достаточное?

[dsge]

В такой формулировке задача вряд ли разрешима. Если параметр одномерен и задача локальна в окрестности центра на центральном многообразии, то что-то можно сказать про бифуркацию Андронова-Хопфа. Для многомерных параметров все становится очень запутанным. Для глобальных периодических решений (не локальных) ситуация становится совсем мрачной. Можно, в принципе, эксплуатировать топологические соображения, сведя краевую задачу к операторному уравнению в каком-нибудь функциональном пространстве, и далее искать хорошие свойства этого оператора типа сжимаемости, какой-нибудь разновидности компактности, монотонности или конусности.