Формула вычисления кинетической энергии через импульс

[svv]

Если же Вы (Rusit8800) имели в виду формулу, где квадрат разности импульсов (вместо правильной разности квадратов), так она не бесполезна, она неверна.

[Rusit8800]

Но почему? Это же по теореме Пифагора найдено.

[Erleker]

Теорема Пифагора применена верно, а формула, куда вы решили это подставить, как вам уже описали, не верна.
$A=I^2/2m$ нельзя писать.

[StaticZero]

Rusit8800 в сообщении #1231520 писал(а):

пользоваться теоремой о кинетической энергии.

Собственно, я ни разу не видел как применяют импульс силы как самостоятельное понятие для расчёта изменения количества кинетической энергии.

Искусственно, тем не менее, это сделать можно. Уважаемый Cos(x-pi/2) даже рассказал, как это сделать. Более конкретно, пусть $\mathbf p$ - начальный импульс тела и пусть $\mathbf I$ - импульс силы. Как уже установлено в теме, изменение кинетической энергии будет равно

$$\Delta E = \dfrac{(\mathbf p + \mathbf I)^2 - \mathbf p^2}{2m}.$$

Вас просят раскрыть скобки и убедиться, что мы не врем. Позязя.

[Rusit8800]

StaticZero в сообщении #1231543 писал(а):

$$\Delta E = \dfrac{(\mathbf p + \mathbf I)^2 - \mathbf p^2}{2m}.$$

Тогда уж

$$\[\Delta E = \Delta \frac{{{I^2}}}{{2m}} = \frac{{{I_2}^2}}{{2m}} - \frac{{{I_1}^2}}{{2m}} = \frac{{{I_2}^2 - {I_1}^2}}{{2m}} = \frac{{{{(2mV)}^2} - {{(mV)}^2}}}{{2m}} = \frac{3}{2}mV^2\]$$

-- 04.07.2017, 19:28 --

Это похоже на теорему об изменении кинетической энергии, только в "импульсной форме", по аналогии с 2 законом Ньютона.

[Munin]

Rusit8800
Вас не учили за размерностями следить?

[Rusit8800]

Я дико звиняюсь. Исправил. Просто опечатка.

[Erleker]

Rusit8800
Зачем вместо $p$ писать $I$?Вы тут импульсы системы до и после пишете, а не импульс силы.

-- 04 июл 2017 19:32 --

Rusit8800 в сообщении #1231548 писал(а):

Это похоже на теорему об изменении кинетической энергии

Это она и есть, просто выраженная не через $m,v$, а через $m,p$.

[StaticZero]

Rusit8800, от вас не этого хотели. А общую формулу вида

$$\Delta E = \dfrac{I^2}{2m} + \dfrac{(\mathbf p \cdot \mathbf I)}{m}.$$

Можно придумать ей рукомахательское объяснение. Именно, если тело в момент начала действия силы двигалось, и притом так, что сила оказалась приложенной поперёк этого изначального направления, то второй член уничтожится, так как в строгом соответствии с законом сохранения импульса он сохраняется по этому направлению, и вся работа силы уходит на разгон тела в некотором дополнительном направлении.

Но это объяснение неправильное и плохое, так как годится лишь для постоянной силы. Если сила меняет направление, то эту формулу надо прикладывать отдельно к каждому бесконечно малому промежутку времени движения тела. Результат имеет вид

$$\mathrm dE = \dfrac{F^2 \ \mathrm dt^2}{2m} + \dfrac{(\mathbf p \cdot \mathbf F \ \mathrm dt)}{m} = (\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf s),$$

первый член уничтожился за малостью.

-- 04.07.2017, 19:45 --

В вашем случае подстановка даёт $(5/2 - 1) mv^2$, то, что вы и хотели.

[Rusit8800]

Я еще не изучал производную, поэтому последняя формула для меня не понятна.

-- 05.07.2017, 11:24 --

Я в таких случаях лучше буду пользоваться теоремой о кинетической энергии.

[Erleker]

Rusit8800 в сообщении #1231641 писал(а):

Я еще не изучал производную, поэтому последняя формула для меня не понятна.

Да сейчас вам ее и не нужно знать.Задача простая и действительно:

Rusit8800 в сообщении #1231641 писал(а):

Я в таких случаях лучше буду пользоваться теоремой о кинетической энергии.

Главное, что вы поняли свою ошибку в приведенном рассуждении.

StaticZero в сообщении #1231558 писал(а):

$$\mathrm dE = \dfrac{F^2 \ \mathrm dt^2}{2m} + \dfrac{(\mathbf p \cdot \mathbf F \ \mathrm dt)}{m} = (\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf s),$$

А вот так писать, вообще говоря, некорректно.

[rustot]

$dE = \vec{F} \vec{dr} = \frac{\vec{dp}}{dt}\vec{dr} = \vec{v} \vec{dp}$

$\Delta E = \int \vec{v}\vec{dp}$

В классической механике $\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m}$ и значит

$\Delta E = \frac{1}{m} \int \vec{p}\vec{dp} = \frac{1}{2 m} \int d(p^2) = \frac{p_2^2 - p_1^2}{2 m}$

А допустим в СТО $\vec{v} = \frac{\vec{p}}{\sqrt{m^2+p^2/c^2}}$ и значит

$\Delta E = \int \frac{\vec{p}}{\sqrt{m^2+p^2/c^2}} \vec{dp} = \frac{1}{2}\int\frac{d(p^2)}{\sqrt{m^2+p^2/c^2}} = \sqrt{m^2 c^4+p_2^2 c^2} - \sqrt{m^2 c^4+p_1^2 c^2}$

[Erleker]

rustot
А это вы к чему?
И неплохо бы, кстати, расписывая, как в СТО, пояснять, почему формула работы остается такой же.

[rustot]

Erleker в сообщении #1231665 писал(а):

А это вы к чему?

К "вычислению энергии из импульса"

Erleker в сообщении #1231665 писал(а):

И неплохо бы, кстати, расписывая, как в СТО, пояснять, почему формула работы остается такой же.

А с чего ей быть другой? Если не ошибаюсь, $\vec{F}\vec{dr}$ это и есть определение работы силы

[Erleker]

rustot в сообщении #1231666 писал(а):

К "вычислению энергии из импульса"

Но ведь СТО ТС явно не интересовался.

rustot в сообщении #1231666 писал(а):

А с чего ей быть другой?

Ну, "с чего бы ей быть обязательно такой же"?
У вас другой Лагранжиан, другая получается энергия и уравнение движения (с введенным определением силы).
Ну вы вот проанализируйте, для примера:
$\delta\int\limits_{1}^{2}(kxv^2-U(x))dt=0$
Какая тут получится энергия и "работа" с определением силы $-\dfrac{\partial U}{\partial x}$?

Ну а в СТО, в принципе, очевидно, почему так же.Но показать то надо.Покажите.

rustot в сообщении #1231666 писал(а):

Если не ошибаюсь, это определение работы силы

Ну пусть будет так.А почему тогда она равна $dE$ то?