эллиптическое уравнение (вроде потянет на курсовик)

[zoo]

Зададим единичный шар в $\mathbb{R}^m$.
$B=\{x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m\mid x_1^2+\ldots+x_m^2\le 1\}$
Введем функцию $f\in C^\infty(\mathbb{R}).$
Доказать, что если число $m$ достаточно велико, то задача
$\Delta u=f(u),\quad u\mid_{\partial B}=0$ имеет классическое решение.

[V.V.]

На курсовик в каком вузе?

[Echo-Off]

V.V., Вы считаете, что это решённая задача?
zoo, это решённая задача?

[zoo]

Echo-Off писал(а):

zoo, это решённая задача?

скажем так, некоторое время назад, я опубликовал решение некоторой обобщенной версии (там область была не шар а ограниченная с гладкой границей, и правая часть была более общего вида) этой задачи в одном очень слабеньком журнале. Полноценной публикацией это не считаю т.к. факт простой. А опубликовал потому, что от нескольких квалифицированных людей перед тем слышал, что такого бысть не может. Потом, когда я показывал доказательство, то этиже люди отвечали : "тривиальщина какая"


Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

V.V. писал(а):

На курсовик в каком вузе?

посуществу ченть скажем?

[ewert]

zoo писал(а):

Зададим единичный шар в $\mathbb{R}^m$.
$B=\{x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m\mid x_1^2+\ldots+x_m^2\le 1\}$
Введем функцию $f\in C^\infty(\mathbb{R}).$
Доказать, что если число $m$ достаточно велико, то задача
$\Delta u=f(u),\quad u\mid_{\partial B}=0$ имеет классическое решение.

Ну, так оно заведомо имеет решение в обобщённом смысле для любой квадратично интегрируемой правой части, т.к. оператор Лапласа с условиями Дирихле самосопряжен, отрицателен и (в ограниченной области) отделён от нуля. А если правая часть непрерывна, то и решение может пониматься в классическом смысле.

Не понял, в чём задача-то.

[zoo]

ewert писал(а):

Ну, так оно заведомо имеет решение в обобщённом смысле для любой квадратично интегрируемой правой части, т.к. оператор Лапласа с условиями Дирихле самосопряжен, отрицателен и (в ограниченной области) отделён от нуля. А если правая часть непрерывна, то и решение может пониматься в классическом смысле.

Не понял, в чём задача-то.

Товарисч, задача нелинейная, правая часть зависит от искомой функции.

[ewert]

а-а, извиняюсь

[Bard]

zoo
В этой задаче Вы воспользовались тем, что с увеличением размерности первое собственное число оператора Лапласа для задачи Дирихле растёт. Поэтому норма обратного оператора уменьшается. Далее, суперпозиция обратного оператора и нелинейного

\[ f(u) \]

можно сделать оператором сжатия.

[zoo]

Bard писал(а):

zoo
В этой задаче Вы воспользовались тем, что с увеличением размерности первое собственное число оператора Лапласа для задачи Дирихле растёт. Поэтому норма обратного оператора уменьшается. Далее, суперпозиция обратного оператора и нелинейного

\[ f(u) \]

можно сделать оператором сжатия.

если первое собственное число растет, то наверное так тоже можно, я делал с помощью принципа сравнения и теоремы Шаудера

[Bard]

Понял. Спасибо.
В случае шара я не проверял факта роста первого с.ч. оператора Лапласа с условиями Дирихле. Но, если взять куб, то первая собственная функция это произведение синусов всех переменных.
Поэтому, чем больше переменных, тем больше с.ч.
Для курсовика это очень хорошая тема.