Вертикальные прямые как интегральные кривые

[StaticZero]

Пусть есть уравнение

$$x^2y' + xy= 0.$$

Вертикальная прямая $x = 0$, очевидно, интегральнавя кривая. А чему равна при этом функция $y(x)$? Чего-то я не соображу, ведь $y(0)$ - значение решения в конкретной точке.

[Sonic86]

Что мешает поделить на $x$, расписать производные через дифференциалы и решить?
В решение потом добавляем $x=0$ и все.

Или вы спрашиваете, чему равно $y(x)$, если $x=x(y)=0$? Если да, то ничему - мы должны кривую описать, а не график функции. Кривая от системы координат не зависит.

[StaticZero]

Sonic86 в сообщении #1231450 писал(а):

мы должны кривую описать, а не график функции

Кривую в смысле $\Phi(x, y, C) = 0$?

[Someone]

StaticZero в сообщении #1231448 писал(а):

Пусть есть уравнение

$$x^2y' + xy= 0.$$

Вертикальная прямая $x = 0$, очевидно, интегральнавя кривая.

Очевидно, что нет. Поскольку Вы берёте производную по $x$, то $x$ — независимая переменная, и не является константой. Поскольку в противном случае производная становится бессмысленной.

А если Вы запишете уравнение в виде $x^2dy+xy\,dx= 0$, то $x$ может быть неизвестной функцией от $y$, и появляется решение $x=0$.

[StaticZero]

Someone в сообщении #1231459 писал(а):

StaticZero в сообщении #1231448 писал(а):

Пусть есть уравнение

$$x^2y' + xy= 0.$$

Вертикальная прямая $x = 0$, очевидно, интегральнавя кривая.

Очевидно, что нет. Поскольку Вы берёте производную по $x$, то $x$ — независимая переменная, и не является константой. Поскольку в противном случае производная становится бессмысленной.

А если Вы запишете уравнение в виде $x^2dy+xy\,dx= 0$, то $x$ может быть неизвестной функцией от $y$, и появляется решение $x=0$.

Во дела. Этот ответ на мой первый вопрос исчерпывающий. Но я не подозревал об этой разнице, я думал, что это просто разные формы записи уравнения. Я верно понимаю, что делить на $\mathrm dx$ значит отбрасывать решения $x =C$?

[Someone]

StaticZero в сообщении #1231464 писал(а):

Я верно понимаю, что делить на $\mathrm dx$ значит отбрасывать решения $x =C$?

Конечно. Ведь если $x=\mathrm{Const}$, то $dx=0$, а на ноль делить нельзя. Поэтому правильный подход состоит в том, чтобы отдельно рассмотреть случай $x=\mathrm{Const}$, а потом предположить, что $dx\neq 0$ и делить на него. Или в обратном порядке.

Решение может выглядеть так:

$$x^2dy=-xy\,dx,$$

$$\frac{dy}y=-\frac{dx}x\eqno[x^2y=0?]$$

и так далее.

Но у Вас ведь были сомнения:

StaticZero в сообщении #1231448 писал(а):

А чему равна при этом функция $y(x)$?

Если в уравнении присутствует $y'(x)$, то это означает, что мы ищем $y$ как функцию от $x$, и $x$ ни в каком смысле не является неизвестной функцией.

[StaticZero]

Someone, а как тогда искать неявные решения уравнений?

Вот если я говорю, что "пусть $y = y(x)$ — решение уравнения, тогда тра-ля-ля", то тогда исключаются решения $\Phi(x, y, C) = 0$ такие, которые не содержат $y$. Не может ли быть так, что если я ищу решение в явном виде $y = y(x)$, то выпадет ещё что-то, несмотря на то, что часто получается интеграл уравнения в виде $\Psi(x, y, C) = 0$, который тоже как бы неявная функция? Или выпадают только неявные решения, не содержащие $y$?

[svv]

Уравнение $x\,dx+y\,dy=0$ имеет решение $x^2+y^2=C^2$, но записать его в виде $y=f(x)$ «без потерь» не получится.

[StaticZero]

svv в сообщении #1231489 писал(а):

записать его в виде $y=f(x)$ «без потерь» не получится.

Да записать бы чёрт с ним. А можно ли найти все решения, ища их изначально как $y = y(x)$? (За исключением $\Phi(x, C) = 0$)

[Someone]

StaticZero в сообщении #1231482 писал(а):

Someone, а как тогда искать неявные решения уравнений?

Да они сами сплошь и рядом получаются в неявном виде, так что заботиться об этом не надо. Когда мы говорим, что ищем неизвестную функцию $y(x)$, мы просто фиксируем роли переменных: $x$ объявляем независимой переменной, а $y$ — функцией от $x$. А способ задания функции (явный, неявный или ещё какой) этим не предопределяется.

Просто, если у Вас одна переменная определена как независимая, а другая — как функция, то не надо заставлять независимую переменную быть постоянной.

[StaticZero]

Someone в сообщении #1231512 писал(а):

А способ задания функции (явный, неявный или ещё какой) этим не предопределяется.

То, что я хотел услышать. Спасибо

[amon]

Если вылезти из обычных функций в обобщенные, то это уравнение имеет ещё одно решение -
$xy'+y=\delta(x)$, которое иногда бывает очень полезно. (Сейчас как придет Red_Herring, как по балде-то мне надаёт...)

[Red_Herring]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1231598 писал(а):

о это уравнение имеет ещё одно решение

Нет, это ещё не решение. Вы просто сказали, что обобщённая ф-я удовлетворяет исходному у-нию т. и т.т. к. она удовлетворяет $xy'+y =c \delta (x)$ (потеряв множитель), и продолжив можно эквивалентно преобразовать к $(xy)' =c \delta (x)$, $xy =c\theta(x)+c_1$, и "окончательно" $y =c|x|^{-1}+c_1x^{-1}+c_2 \delta(x)$, после чего я ехидно поинтересуюсь: "а теперь объясните, как эта хрень действует на пробную функцию $\phi (x)$", а иначе это не обобщённая ф-я, а "Чебурашка" (неизвестный науке зверь).

А потом: "а теперь проверьте, что Ваша обобщенная ф-я удовлетворяет исходному ур-нию". Разумеется, все это имеет смысл, и даже интересно, но не имеет никакого отношения к задаче ТС.