Интегральное уравнение

[sashkir7]

Доброго времени суток.

Столкнулся со следующей проблемой:
Имеется две функции: первая - плотность распределения Максвелла f(x,t), вторая - функция, полученная экспериментально g(x).
Необходимо найти третью функцию - y(t).

$$\int\limits_{0}^{\infty}f(x,t)y(t)dt = g(x)$$

Подскажите, пожалуйста, как быть? Куда двигаться?


Что, собственно, делал я?
1). Читал разнообразную литературу про интегральные уравнения (в большинстве - учебные пособия). Если я правильно понимаю, то это уравнение не является ни уравнением Вольтера (пределы интегрирования другие), ни уравнение Фредгольма. Думал, можно как-то решить через метод Резольвент, но у меня ничего не вышло.
2). Значения t и x меняются от 1 до 10000. Я пытался создать матрицу размером 10тыс на 10тыс. После чего найти обратную матрицу и умножить на вектор g(x). Использовал ПО Wolfram Mathematica. При размерах матрицы свыше 10х10 возникают очень серьезные ошибки. К сожалению, не знаю как с ними бороться.

[Vince Diesel]

Не могли бы вы указать плотность явно, чтобы не гадать, что у вас что?

[sashkir7]

Да, конечно.

Плотность распределения Maxwell:

$p(x,t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{x^2}{t^3}Exp[\frac{-x^2}{2t^2}]$

[Vince Diesel]

Константу можно загнать в правую часть, чтоб не мешалась. Заменой $\tau=1/(2t^2)$ интеграл упрощается:

$$ x^2\int_0^\infty e^{-\tau x^2}y(1/\sqrt{2\tau})\,d\tau =g(x). $$

Обозначив $h(\tau )=y(1/\sqrt{2\tau })$, $p=x^2$, получаем:

$$ \int_0^\infty e^{-\tau p}h(\tau )\,d\tau =g(p^{1/2})/p=u(p), $$

т.е. имеется преобразование Лапласа $L[h](p)=u(p)$ и задача сводится к нахождению обратного преобразования от $u$.

Что же касается численного решения систем, то в математике можно попробовать увеличить число значащих цифр, скажем, до 50 или 100 и посмотреть, что получится.

[Red_Herring]

Vince Diesel в сообщении #1230615 писал(а):

и задача сводится к нахождению обратного преобразования [Лапласа]

Это плохо поставленная задача и нужны всякие методы Некорректных задач.