Жизнь после ураматов

[Metford]

Ну-с, продолжим

(Оффтоп)

Ох, боюсь я гнева математиков, но уж больно пообсуждать хочется...

Так вот, я Ваше давешнее утверждение сейчас начну раскладывать, Munin. В хорошем смысле.

Munin в сообщении #1229868 писал(а):

от например, красивейшая тема. Есть у вас ротор или дивергенция векторного поля. И надо само поле восстановить. Так сказать, "найти первообразную". В школе этот вопрос аккуратно обходится: мол, для $n$-мерного пространства у нас есть определённый интеграл, и точка. Нету неопределённого. Как нету? Операции дифференцирования есть (целый набор), а обратных нет?

И тут оказывается, что обратная операция - это решение дифура, ДУЧП. Оказывается, что в 1-мерном случае была неоднозначность типа "добавлять константу", а в $n$-мерном случае неоднозначность устроена намного сложнее, может быть бесконечномерной (типа "с точностью до произвольной функции"). Её можно ограничить, если ввести границы и граничные условия. Но тут очень тонкая грань, надо "не переборщить": сначала у вас получается много решений, потом меньше, потом одно, а потом ни одного - задача будет переопределённой, некорректной.

Я когда говорил там где-то раньше, что моего ума не хватает (пока?..) на УМФ в человеческом исполнении, имел в виду именно подход к ним на основе функционального анализа. Т.е. я выслушал двухсеместровый курс УрЧП, в котором было сделано всё, только чтобы не коснуться функционального анализа. В одном только месте лектор не мог избежать этого: в связи с методом Фурье приходится говорить о задаче Штурма-Лиувилля. И говорить о ней в таком контексте на совсем уж примитивном уровне - как-то неприлично. В остальном в течение всего курса рассказывалось исключительно о технике решения уравнений. Хотелось мне подобрать книгу, в которой бы УрЧП излагались именно с позиций функционального анализа, но пока серьёзно этим делом не занимался.

Munin в сообщении #1229868 писал(а):

Обобщим задачу в трёх направлениях:
- $3\to n$-мерное пространство;
- область, ограниченная топологически сложными границами, с выколотыми множествами, и т. п. (например, в 3-мерном пространстве можно выколоть линию, и по ней пустить ток, тогда магнитное поле этого тока будет безвихревым, но непотенциальным);
- всё пространство может быть искривлённым - неким 3($n$)-мерным многообразием.

Здесь Вы по-моему рассматриваете пример задачи, в которой, скажем так, смыкаются несколько разделов. Таких смыканий и пересечений в математике можно найти немало.

Munin в сообщении #1229868 писал(а):

Metford в сообщении #1229839

писал(а):
Дама, перед которой преклоняюсь - это дифференциальная геометрия. Умница, красавица...
А она, кстати, ураматам кузина двоюродная Тензорные поля на многообразиях, знаете ли, уравнения на них, решения и всякое такое.

И то же самое. В родственных отношениях тут сложно разбираться. Соглашусь с тем, что, действительно, за уравнениями в частных производных чуть ли не целый мир просматривается. Вот к слову скажу, меня в своё время восхитило свойство гидродинамического уравнения Чаплыгина, которое меняет свой тип в разных режимах (дозвуковое течение подчиняется уравнению эллиптического типа, а сверхзвуковое – гиперболического типа, собственно, почему ударные волны возникают). И в дифференциальную геометрию меня привели тоже дифференциальные уравнения - долго объяснять, в детали не вдаюсь.

Так вот, что касается геометрии. Конечно, там возникают очень неслабые уравнения (вроде деривационных или Петерсона-Кодацци). Но я их в этом контексте всегда воспринимал как нечто вторичное. Т.е. вот есть многообразия - у них есть определённые свойства. Ну что поделать, если в таком подходе поверхности рассматриваются локально, а потому неизбежно возникают дифференциальные соотношения. Они суть лишь способ выражения закономерностей, но самостоятельной роли не играют.