Найти ошибку в рассуждениях (метод математической индукции)

[miflin]

Спасибо всем за пояснения.

[svv]

Соль тут в том, что при $n>1$ утверждение $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ (т.е. шаг индукции) справедливо: если в множестве из трёх лошадей любые две одной масти, то и все три одной масти. Лишь из $P(1)$ ну никак не получить $P(2)$.

[Sinoid]

Добавлю свои 5 копеек.

miflin в сообщении #1230062 писал(а):

Sinoid в сообщении #1230053

писал(а):
А разве отрезок не равен сам себе?
Какие содержательные следствия можно из этого получить?

Вот одно содержательное следствие. Тождественное преобразование пространства (по крайней мере, изучаемого в школе) становится тут же движением, а там и до теории групп рукой подать.

-- 28.06.2017, 15:59 --

svv в сообщении #1230074 писал(а):

Соль тут в том, что при $n>1$ утверждение $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ (т.е. шаг индукции) справедливо: если в множестве из трёх лошадей любые две одной масти, то и все три одной масти. Лишь из $P(1)$ ну никак не получить $P(2)$.

У меня вчера нечто подобное крутилось в голове, но остановило то, что индукцией доказываются утверждения не обязательно начиная с $n=1$. Однако, даже если мы и пропустим случай $n=2$ и будем формулировать утверждение для табуна, состоящего не менее, чем из трех, четырех и т. д. лошадей, у нас не будет базы даже для табуна из трех лошадей про бо́льшие я вообще не заикаюсь.

[miflin]

svv в сообщении #1230074 писал(а):

Лишь из $P(1)$ ну никак не получить $P(2)$.

Почему?

[mihaild]

miflin в сообщении #1230246 писал(а):

Почему?

Потому что $P(1)$ верно, а $P(2)$ нет.

[Sinoid]

miflin в сообщении #1230246 писал(а):

svv в сообщении #1230074

писал(а):
Лишь из $P(1)$ ну никак не получить $P(2)$.
Почему?

Потому что при удалении из множества, состоящего из двух (различных) элементов, поочередно каждого из этих двух элементов получаются 2 множества, которые ну никак не могут иметь общих элементов.

[miflin]

Sinoid в сообщении #1230252 писал(а):

Потому что при удалении из множества, состоящего из двух (различных) элементов, поочередно каждого из этих двух элементов получаются 2 множества, которые ну никак не могут иметь общих элементов.

Хочу прояснить один момент. Табун из 10 лошадей двух разных мастей. Из скольки элементов состоят множество лошадей и множество мастей?

[Sinoid]

Не совсем понял, к чему это вы. Но на всякий случай

miflin в сообщении #1230261 писал(а):

Табун из 10 лошадей

Так до табуна из 9 лошадей еще добраться надо, а база еще при переходе к двум лошадям приказала долго жить...

[miflin]

Я спросил не в плане перехода от 9 к 10, а в плане перехода на язык множеств.
Если в одном табуне две гнедых и две вороных, а в другом две гнедых и три вороных,
то это равные множества?

[mihaild]

miflin в сообщении #1230277 писал(а):

Если в одном табуне две гнедых и две вороных, а в другом две гнедых и три вороных,
то это равные множества?

Множества лошадей - разные, множества цветов - одинаковые.

[miflin]

Этот "вопрос возник, посмотрев Википедию" (шутка ): https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
Т. е. в данном случае речь должна идти о мультимножестве, т.к. в обычном элементы не повторяются.

-- 28.06.2017, 20:09 --

И вдогонку.

Sinoid в сообщении #1230252 писал(а):

Потому что при удалении из множества, состоящего из двух (различных) элементов

Почему обязательно различных?

[svv]

А где Вы тут видите мультимножества? (или: где тут, по-Вашему, без них не обойтись?)

[arseniiv]

miflin
Ну раз мы доказываем, что цветовая функция на любом конечном множестве лошадей имеет образ из одного элемента индукцией по числу элементов этого множества, то, понятно, имеется в виду «различных», потому что «множество из двух элементов $a$ и $a$» — это на самом деле множество из одного элемента.

И вообще мы по идее говорим как раз о функциях, а не о множествах и не о мультимножествах — хотя это тоже, по сути, функции, но не те: здесь мы говорим о функциях из лошадей в цвета, а мультимножество цветов — это функция из цветов в какой-то подкласс кардиналов (тут достаточно конечных).

[miflin]

svv в сообщении #1230293 писал(а):

А где Вы тут видите мультимножества?

Если мы удаляем из n-табуна одну лошадь, и говорим, что получится (n-1)-табун, то это означает, что все лошади различны, если множество не "мульти"... Не?
Я понимаю, что моя девственность в этом вопросе должна раздражать собеседников, но, надеюсь, не слишком...

[svv]

Не очень Вас понимаю. На всякий случай:
1) все лошади различны (у каждой есть уникальный идентификационный номер, присвоенный ей Творцом, не говоря о номере медицинской страховки);
2) у разных лошадей может быть одинаковая масть.
Поэтому если, например, в табуне из четырёх лошадей две гнедых и две вороных, то тут четыре различные лошади и две различные масти. Ни множество лошадей, ни множество мастей не содержит повторяющихся элементов.