После перестановки цифр

[Ktina]

В натуральном числе $A$ переставили цифры, получив число $B$, не равное числу $A$.
Оказалось, что сумма цифр числа $A$ равна сумме цифр числа $A+B$.

а) Найти наименьшее возможное значение $A$.
б) Найти наименьшее возможное значение $A+B$.

[gris]

Ясно, что все числа делятся на $9$.
Могу предложить вариант: $108+018=126$
Можно даже переставить, но до перестановки цифр ведущие нули нехороши, а после перестановки — считаются Или нет?
Если нет, то небольшой перебор приведёт.
Вот в этом небольшая досада в подобных задачах. Оговаривать нули многословно, а без этого непонятки. Или нет?

[Ktina]

gris
Mea culpa, надо было оговорить, что число не может начинаться с нуля.

[lopkityu]

Попробую привести решение с минимальным перебором.
Пусть $ \theta(n) $ - функция суммы цифр числа $ n $ (не помню, есть ли для нее общепринятое обозначение). Как уже отметил gris, $ A $ и $ B $ должны делиться на 9. Пусть $ A<B $. Если при суммировании $ A+B $ "в столбик" ни одна из сумм соответствующих разрядов не переваливает за 9, то $ \theta(A+B)=\theta(A)+\theta(B)>\theta(A) $, поэтому сумма цифр хотя бы в одном разряде должна быть не меньше 10, что исключает все числа меньшие 90. При всем этом, 90, 99, 108, 117 не подходят под условие, а следующий кандидат дает 126+216=342. Если существует меньшее значение $ A+B $, то $ A<200 $ и кроме единицы в разряде сотен оно должно содержать еще единицу или двойку. Учитывая наше предписание для суммирования, вариант с единицей отпадает и остается еще одно число-кандидат 162, для которого 162+261=423, что и показывает минимальность суммы 342.

[Ktina]

lopkityu
Большое спасибо!